マクローリンの定理

質問

1/(1-x)(1-3x)という関数にマクローリンの定理を適用してくださいお願いします。
早急にお願いします。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

定理の適用？
　次のようなことを質問しているのですか？

　f(x)=1/{(1-x)(1-3x)}　とすると、

　　f(x)=(3/2)/(1-3x)-(1/2)/(1-x)=(3/2)Σ[k=0→∞] 3^k x^k -(1/2)Σ[k=0→∞] x^k =(1/2)Σ[k=0→∞] {3^(k+1)-1) x^k

と展開できるので、マクローリンの定理は

　　f(x)=(1/2)Σ[k=0→n-1] {3^(k+1)-1} x^k + f^(n)(c)/n! x^n, 0<c<x

となるｃが少なくとも１つ存在する　と書けます。

　ちなみに、f(x)をn回微分した　f^(n)(x)　は

　　f^(n)(x)=n!/2 {1/(1-x)^(n+1)-3^(n+1)/(1-3x)^(n+1)}

となりますので、次のように書き換えることも可能です。

　　f(x)=(1/2)Σ[k=0→n-1] {3^(k+1)-1} x^k + {1/(1-c)^(n+1)-3^(n+1)/(1-3c)^(n+1)}/2 x^n, 0<c<x

となるｃが少なくとも１つ存在する。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

失礼。誤字訂正：

テイラー展開の中心を 0 に置いたものを、マクローリン展開と言うが、
テイラーの定理で中心を 0 に置いたものを、マクローリンの定理とは
普通言わない。なぜ、そうなるのかは、マクローリン式の級数展開が
「テイラー展開」と呼ばれるようになった歴史的経緯を調べてみれば
納得できよう。

回答No.2

alice_44

テーラー展開の中心を 0 に置いたものを、マクローリン展開と言うが、
テーラーの定理で中心を 0 に置いたものを、マクローリンの定理とは
普通言わない。なぜ、そうなるのかは、マクローリン式の級数展開が
「テイラーの定理」と呼ばれるようになった歴史的経緯を調べてみれば
納得できよう。