電子回路の問題その3です。

質問

電子回路の問題その3です。
スイッチの開閉前後の電流の流れ方がよくわかりません。
詳しいとき方を教えてください。もしくは解法の筋道をお願いします。

回答No.3

inara1 · ベストアンサー

＞そのような通報で削除されることもあるのですか
削除された後、回答者に以下のような通知（Gooメール）が来ます（いくぶん省略してます）。
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いつもOKWaveをご利用いただき、誠にありがとうございます。
回答された、下記の○○様の質問についてご連絡いたします。
質問の内容を確認しましたところ、当サイトの利用規約上ご遠慮いただいている
行為に該当してしまうものと判断いたしました。そのため、質問を削除させてい
ただきました。
課題やレポートなどを質問として投稿する事自体は禁止しておりませんが、「○
○についてやってください」など、課題文を丸写しにしたような質問については
マナー違反であると考えております。
質問を削除いたしますと回答もあわせて削除されてしまいます。せっかくご回答
いただきましたのに申し訳ございませんがご了承くださいますようお願いいたし
ます。
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ここまで計算したけどそれで合っているのか自信がないとか、ここで行き詰ったという質問ならＯＫです（その経過を質問文の中で示さなければなりませんが）。

【「その３」の解き方】
＞初期条件はV(0)＝5Vで、I(0)=1.25Aにしましたが、それでよかったんでしょうか
それでいいです。
途中経過は書きませんが、最終的には V(t) の微分方程式は以下のようになります（これは添付図の式(1)～式(3)を使えば簡単に導けます）。
　　　L*C*d^2V(t)/dt^2 + ( C*R1 + L/R2 )*dV(t)/dt + ( 1 + R1/R2 )*V(t) = E(t)
R1 = 4 [Ω]、R2 = 2 [Ω]、L = 4 [H]、C = 1/8 [F]、E(t) = 10*cos(t) [V] のときの解は以下のようになります。
　　　V(t) = 2*sin(t) + 2*cos(t) + A1*exp( -3*t ) + A2*exp( -2*t )
この結果と添付図の初期条件(6)から
　　　V(0) = 2 + A1 + A2 = V0 = 5 [V] --- (7)
一方、添付図の式(2), (3)から
　　　I(t) = C*dV(t)/dt + V(t)/R2
　　　　　= (3/4)*sin(t) + (5/4)*cos(t) + (1/8)*A1*exp( -3*t ) + (1/4)*A2*exp( -2*t )
この結果と添付図の初期条件(4)から
　　　I(0) = = 5/4 + (1/8)*A1 + (1/4)*A2 = - V0/R1 = -5/4 [A] --- (8)
式(7), (8) から A1 と A2 が決まるので V(t) が求められます。「その３」では解答が書かれていないので自信ないです。結局、初期条件(5)は必要なかったみたいです。

＞図の中のu(t)の意味がよくわからない
u(t) はステップ関数で
　　　t < 0 のとき u(t) = 0
　　　0 ≦ t のとき u(t) = 1
となる関数です。したがって E(t) は
　　　t < 0 のとき E(t) = 0
　　　0 ≦ t のとき E(t) = 10*cos(t)
となります。添付図の上下の図で、t < 0 のときと 0 ≦ t のときの E(t) の違いが分かると思います。

お礼

inara様。
通報のコメントありがとうございます。
質問の仕方を気をつけようと思います。
今日、宿題の解答がかえってきました。
ianara様の答えであっておりましたよ。
毎週宿題を提出したあとに、類似問題のクイズが翌日にあるのですが最近は難しくなったせいでひどい点数が多くて本当にクラスを落としそうです。先週からphasor　notationというのがでてきてさらに頭が爆発しそうです。今のクラスが一日も早く終わってほしいです。

回答No.2

inara1

＞問題２として以前質問した問題に答えてくださったのでは？
その通りです。
質問が突然削除されていたので、課題丸投げを批判する通報を受けて、事務局が問題を削除したのかと思ってました。それで primula2 さんがさぞかし困っているのではないかと思って、唯一残っている「その３」で回答しました。

自己解決したそうですが、「その２」は最終的な微分方程式に持っていくまでが結構難しいです。「その３」は初期条件に注意してください（t = 0 前後では、電圧は不連続でもいいが、電流は連続していなければならない）。「その２」をご自分で計算できる実力がおありなら「その３」は自力でできるんじゃないでしょうか。

補足

そのような通報で削除されることもあるのですか。。
でもここで聞くことができなくなったらどうしようもないです。
気にかけて回答してくださるとは世の中にはinara様のような方がいるのですね。
本当に助かります。
この問題は解いてみましたが、角速度の違うコサインとサインの式がそれぞれ２つでてきて変な答えになりました。。あまり自信がありません。
初期条件はV(0)＝5Vで、I(0)=1.25Aにしましたが、それでよかったんでしょうか。
図の中のu(t)の意味がよくわからなくて、t<0のときは作動してなくてt>0になってから作動するのかと解釈したのですが・・。

回答No.1

inara1

「その１」で紹介した方法と同じ方法で解けますが、「その１」よりも式が多いので、最終的に何を求めたいのかに注意しないとわけが分からなくなります。この場合、最終的に求めたいのは V(t) です。また、この問題は初期条件として V(0) 以外に IL(0) が与えられていますが、そこがちょっと意地悪な問題です。

まず、それぞれの素子について、素子に流れる電流と、素子の両端の電圧の関係を導きます（式(1)-(4))。
式(3), (4) から I(t) を消去すると
　　　VL(t) = C*R2*dV(t)/dt + V(t) --- (7)
式(7)を式(1)の VL(t) に代入すれば
　　　E(t) - C*R2*dV(t)/dt - V(t) = R1*{ I(t) + IL(t) } --- (8)
この両辺を t で微分すれば
　　　dE(t)/dt - C*R2*d^2V(t)/dt^2 - dV(t)/dt = R1*{ dI(t)/dt + dIL(t)/dt } --- (9)
式(2)から
　　　dIL(t)/dt = VL(t)/L --- (10)
式(4)の両辺を t で微分すれば
　　　dI(t)/dt = C*d^2V(t)/dt^2 --- (11)
式(10)と式(11)を式(9)に代入すれば
　　　dE(t)/dt - C*R2*d^2V(t)/dt^2 - dV(t)/dt = R1*{ VL(t)/L + C*d^2V(t)/dt^2 } --- (12)
式(7)を式(12)に代入して VL(t) を消去すれば
　　　dE(t)/dt - C*R2*d^2V(t)/dt^2 - dV(t)/dt = R1*[ { C*R2*dV(t)/dt + V(t) }/L + C*d^2V(t)/dt^2 ]
これを V(t) について整理すれば
　　　C*( R1 + R2 )*d^2V(t)/dt^2 + ( C*R1*R2/L + 1 )*dV(t)/dt + ( R1/L )*V(t) = dE(t)/dt --- (13)

E(t) = 5*cos(t) [V]、R1 = 1 [Ω]、R2 = 1 [Ω]、L = 0.5 [H]、C = 1/12 [F] のとき、式(13)は
　　　( 1/6 )*d^2V(t)/dt^2 + ( 7/6 )*dV(t)/dt + 2*V(t) = -5*sin(t)
この解は
　　　V(t) = { 21*cos(t) - 33*sin(t) }/17 + A1*exp( -4*t ) + A2*exp( -3*t ) --- (14)
初期条件の式(5)から V(0) = 1 [V] なので、式(14)から
　　　V(0) = 21/17 + A1 + A2 = 1 --- (15)

式(14)の両辺を t で微分すると
　　　dV(t)/dt = { -21*sin(t) - 33*cos(t) }/17 - 4*A1*exp( -4*t ) - 3*A2*exp( -3*t )
　　　→　dV(0)/dt = - 33/17 - 4*A1 - 3*A2 --- (16)
式(8)を IL(t) について解けば
　　　IL(t) = { E(t) - C*R2*dV(t)/dt - R2*V(t) }/R1 - I(t) --- (17)
式(4)の I(t) を式(17)に代入すれば
　　　IL(t) = { E(t) - C*R2*dV(t)/dt - R2*V(t) }/R1 - C*dV(t)/dt
　　　　　　= E(t)/R1 - C*( 1 + R2/R1 )*dV(t)/dt - ( R2/R1 )*V(t) --- (18) t = 0 での式(18)に式(15)、(16)を代入すれば
　　　IL(0) = E(0)/R1 - C*( 1 + R2/R1 )*dV(0)/dt - ( R2/R1 )*V(0)
　　　　　　= E(0)/R1 + C*( 1 + R2/R1 )*( 33/17 + 4*A1 + 3*A2 ) - R2/R1
　　　　　　= 5 + (1/6)*( 33/17 + 4*A1 + 3*A2 ) - 1
　　　　　　= 147/34 + (2/3)*A1 + A2/2
初期条件の式(6)から IL(0) = 0 なので
　　　147/34 + (2/3)*A1 + A2/2 = 0 --- (19)
式(15)と式(19)から A1 と A2 の値が決まりるので、それらの値を式(14)に代入したのが答えです。

補足

inara様。
問題２として以前質問した問題に答えてくださったのでは？と思いました。
inara様の問題１のやり方を模倣して自分で頑張ったらなんとか解けたのでそのあと質問を削除致しました。
こうやって時間を割いて解法を示してくださって本当にありがとうございます。
この問題はまた別問題になりますので、もしお分かりになりましたら詳しいとき方をご教示くださればとても助かります～。