どうしても分からないので教えてください。お願いします。

質問

どうしても分からないので教えてください。お願いします。

一辺がaの正方形の各頂点に負電荷-q、中心に正電荷Qの点電荷を置いたとき全ての点電荷についてクーロン力の平衡が取れたという。電荷Qとqとの関係を求めよ。
解：Q=((2√2+1)/4)q

回答No.1

jamf0421 · ベストアンサー

中心のQについては正方形の中心だからr↑を位置ベクトルとして
F=Σ(1/(4πε)）Qq(ri↑)/ri^3...(1)
を考えるとたとえばr1=(1,1), r2=(1,-1), r3=(-1,-1), r4=(-1,1)とすれば全てについて|ri|=√2となります。その場合
F=(1/(4πε))Qq/(√2)^3{(1,1)+(1,-1)+(-1,-1)+(-1,1)}
=(0,0)...(2)
になります。よって正方形の四隅に同じ大きさの電荷があるのならかかる合力はゼロです。

次に四隅のqですが、一つについて検討すれば十分です。(1,1)の電荷について考えます。
中心のQに引かれる力は
F1=(1/(4πε))(Qq/(√2)^3)(-1,-1)...(3)
です。力の向きは(-1,-1)となります。
対角線の反対側の同じ電荷との反撥は
F2=(1/(4πε))(-q^2/(2√2)^3)(-2,-2)...(4)
です。
あとは辺を共有する二つの電荷からの反撥です。
F3=(1/(4πε))(-q^2/2^3){(-2,0)+(0,-2)}
=(1/(4πε))(-q^2/2^3)(-2,-2)...(4)
F1+F2+F3=0ならかかる合力はゼロです。
すると
Qq(-√2/4, -√2/4)+q^2(√2/16, √2/16)+q^2(1/4, 1/4)=0
となります。これは
Q(√2/4, √2/4)=q((√2+4)/16, (√2+4)/16)
となりますので
Q*√2/4=q(√2+4)/16
であればよいです。即ち
Q=((2√2+1)/4)q
を得ます。

お礼

本当にありがとうございます!!
助かりました!!