[電磁気] 静電場内のつりあいについて。

質問

学部２年生です。ファインマン物理の電磁気の５章に書かれてある内容なのですが、よく理解できなかったので教えてください。
「水平面上の正三角形の頂点に三つの負電荷があるとする。この正三角形の中心にある正電荷は平衡にあるか？正電荷に働く力の合力は０であるが、つりあいは安定だろうか？その、正電荷をわずかずらした時もとの平衡の位置にもどるだろうか？答えはノーである。どの電場内にも安定なつりあい点はない。例外は他の電荷に重なる場合だけである。ガウスの法則を使えばすぐ分かる。まず、ある点Ｐで電荷がつりあうためには電場が０でなければならない。
次に釣り合いが安定であるためには電荷をＰから任意の方向にずらせても、変位と反対方向に復元力が働かねばならない。しかしもしＰに電荷がなければこれはガウスの法則に明らかに矛盾する。」と書かれてあるのですが、
(1)「合力」と「つり合い」の違いが分からない。
(2)私は、力学では「合力」が０の場所に物体はとどまると理解しているのですがなぜ正電荷はとどまらないのか？
(3)電場はベクトルの和で表現されるのでこの正三角形の中心では電場が０という場所があるのではないか？

(1)、(2)、(3)かぶる所もありますが、どうか教えてください。おねがいします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

ahoahoaho3 さんの回答の二番煎じみたいなものですが...

> (1)「合力」と「つり合い」の違いが分からない。
この文脈からすると，
「合力」がゼロで力を受けていないことを「つり合い」と言っているようです．

> (2)私は、力学では「合力」が０の場所に物体はとどまると理解しているのですがなぜ正電荷はとどまらないのか？
ahoahoaho3 さんご説明の通りです．

> (3)電場はベクトルの和で表現されるのでこの正三角形の中心では電場が０という場所があるのではないか？
この正三角形の中心では電場が０なので正電荷にかかる合力はゼロです．

下図を見てください．
等幅固定フォントでないと図が乱れるかもしれません．

　　　│
　　　↓

─→　Ｐ　←─

　　　↑
　　　│

Ｐ点に置かれた正電荷が安定につり合っているためには，
Ｐ点付近の電場が図のようになっている必要があります．
図では４方向しか描いていませんが，どの方向を見ても電場がＰ点を向いているということです．
Ｐ点を中心とする十分小さな半径の球を考えて，この球面にガウスの法則を適用します．
電場ベクトルと微小面積ベクトルの内積は負ですから(つまり，逆方向を向いている)，
面積分は明らかに負の値を持ちます．
ところが，この面積分に誘電率を掛けたものが面内の電荷というのがガウスの法則ですから，
Ｐ点には電荷がない(問題にしている正電荷自身を除く)ことと矛盾します．
こういう話を多少一般化したものを Earnshaw (アーンショー)の定理と呼んでいます．

補足

回答ありがとうございます。
回答していただいた部分は理解できたと思うのですが、私の理解が間違っていたら教えてください。
P点に置かれた正電荷が安定するためには復元力が必要で、その復元力というのは正電荷がP点からずれたとしても、P点に戻す力なので、中心に正電荷をおく場合、P点にむかって電界があるとその電界が復元力になる。
ここでP点中心の小さな球にガウスの法則を使うと電荷が球内部にないにもかかわらず電束が出ていることになる（マイナス方向に）ので、このような復元力は働かない。
という理解であっていますか。
これは、別の質問になってしまうと思うんですが、この教科書では正三角形の頂点に「負」電荷を置き、「正」電荷を中心に持ってくるといった例を考えているのですが、「負」で電界を作り「正」の電荷をもってきているという理由は、なにかあるんでしょうか？特になかったらすいません。

回答No.4

siegmund

akki123m さん，ahoahoaho3 さん，siegmund です．

akki123m さんの No.2 への補足を拝見しました．
ahoahoaho3 さんのおっしゃるとおり，正しい理解をされていると思います．

> この教科書では正三角形の頂点に「負」電荷を置き、「正」電荷を中心に持ってくるといった例を考えているのですが、
> 「負」で電界を作り「正」の電荷をもってきているという理由は、なにかあるんでしょうか？

これも ahoahoaho3 さんの言われるように，特に理由はありません．
もってきた正電荷はよく「探り電荷」と呼ばれるのもですが，
正電荷にしておくと，電場の方向と正電荷に作用する力の方向が同じ，ということくらいでしょうか．
負電荷をもってくると逆方向になりますね．
あと，正三角形の頂点に負電荷を置いていますが，
負電荷の代わりに正電荷をおいても中心の点が不安定点であることについては同じです．

なお，中心点が不安定性は山の頂上のようなタイプのものではなくて，
峠のような不安定性です．
なかなかテキストファイルで描きにくいのですが，電場の方向は

　　　　　負

　　　＼　∧　／
　　　　┘│└
　　　　　Ｐ
　　　　／∧＼
　　　└　│　┘

　負　　　　　　　負　

のようなものです．

お礼

丁寧に解説していただいてありがとうございます。
とても勉強になりました。解説を読んで電気力線をいろいろ考えてみました。

回答No.3

ahoahoaho3

No.1 の者です。

No.2 さんへのご返答の内容でご理解は正しいと思います。

　点Pに正電荷ではなく、負電荷を持って来ても基本的に結果は
　同じだと思いますが、負電荷の感じる力の向きが変わると思います。
　一度、電気力線を描いてみると面白いと思います。

お礼

ahoahoaho3さん、回答ありがとうございます。
siegmundさんの解説を読んでそれぞれの場合、電気力線がどうなるか考えてみました。勉強になりました。

回答No.1

ahoahoaho3

つり合いと合力は同じですが、つり合った点が安定かどうかは別の話です。

例えると、山の頂上にボールを置いた時は頂点から少しでも位置がずれる
と山を転がって行きますが、谷底にボールを置いた場合、最低点から少し
位置をずらしてもまた谷底に戻ります。
「変位と反対方向に復元力が働」いているからです。この場合は重力ですが。

質問の問題では、少しでも位置がずれると、もっとも近い負電荷の方向へ
正電荷は引かれてゆくので、この場合は安定ではないです。

「安定であるためには電荷をＰから任意の方向にずらせても、
変位と反対方向に復元力が働かねばならない」ということです

お礼

遅くなりました。回答していただいてありがとうございます。
山の頂上にボールを置いたという例で、安定と復元力の関係がきれいに分かりました。ありがとうございます。