ヒントください。

質問

R^(4)の線形変換φを
φ(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+x_2,x_3+x_4,x_1+x_2+x_3+x_4,x_1+x_2-x_3-x_4)
と定めるとき、Ker(φ),φ(v)の基底をそれぞれ１組求めよ。

という問題なのですが、解き方がよく分かりません。
線形変換の基本基底における表現行列などは求められるのですが、それらのやり方とは少し違うような気がしますし・・・
Ker(φ)が０（ゼロ）になるということも分かります。
ぜひとき方教えてください。
ヒントでも十分です。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

まずKerを求めるために
φ(x_1,x_2,x_3,x_4)=(0,0,0,0)
とおいてみましょう。
x_1+x_2=x_3+x_4=x_1+x_2+x_3+x_4=x_1+x_2-x_3-x_4=0
がわかりますが、これは
x_1+x_2=x_3+x_4=0
と同値です（後半の式はこれから出る）。
従ってKer(φ)の元は
(a,-a,b,-b)
の形のベクトル全体です。a,bは任意の実数。
従ってKer(φ)の基底を1組あげると
{(1,-1,0,0),(0,0,1,-1)}
となります。これはKer(φ)の任意のベクトルがこの基底の1次結合でかけるという意味です。

次にimage(φ)=φ(R^4)の基底を考えるために、R^4の標準基底{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}を線型写像φで写してみます。するとそれぞれ(1,0,1,1),(1,0,1,1),(0,1,1,-1),(0,1,1,-1)になります。φ(R^4)の任意のベクトルはこれらの1次結合でかけますので、(1,0,1,1),(0,1,1,-1)は明らかに1次独立ですからφ(R^4)の基底を1組求めると{(1,0,1,1),(0,1,1,-1)}となります。

ちなみに次元公式からkerとimageの基底の個数(この問題ではそれぞれ2つずつでした)の和は元の空間の次元(この問題ではR^4だから4)になります。

回答No.2

grothendieck

adinatさんの解答が正しいと思いますが，私のやり方を書かせて頂きたく，投稿致します。R^(n)からR^(n)への線形写像φを表わす行列をAとします。Aのrank(Aの列のうち，一次独立なものの数)がpのときAの列の基本変形を何回かすれば(v1…vp 0…0)という形になります。ここでv1,…,vpは一次独立なn次元縦ベクトルで，φ(v)の基底になっています。基本変形の積を与える行列をDとすると
　　AD = (v1…vp 0…0)
となりますが、第i成分が1でそれ以外の成分は0の基本ベクトルをe_iとすると、(v1…vp 0…0)の核の基底は，e_p+1,…,e_n となります。上の式より，Ker(φ)の基底は、De_p+1,…,De_n となります。すなわち、行列DはAにかけるとφ(v)の基底を与え，e_p+1,…,e_nにかけるとKer(φ)の基底を与えるのです。