連立合同式の商の定理について
連立合同式の商の定理について教えてください。
x,yを整数 m,aを自然数とするとき
ax≡ay (mod m) ⇔ x≡y ( mod m/GCD(m,a) )
(おかしな表記ですみません。( mod -)は分数式です)
が「商の定理」と習いましたが、これは連立合同式
x≡a (mod K)
x≡b (mod L)
x≡c (mod M)
のK L M が「互いに素」ではないときに適用できる定理だと思うのですが、うまく理解できません。
解らない点:(1)
連立合同式
x≡a (mod K)
x≡b (mod L)
の時、K L のGCDが「1」で「互いに素」と覚えていますが
x≡a (mod K)
x≡b (mod L)
x≡c (mod M)
の時も K L MのGCDが「1」で「互いに素」、それ以上ならば「互いに素」ではないと理解してよいのでしょうか？
解らない点:(2)
x≡a (mod K)
x≡b (mod L)
x≡c (mod M)
で K L M が「互いに素」ではない場合、商の定理を適用した解法でx≡y ( mod m/GCD(m,a) )を求める方法。
K L M が「互いに素」ではない時、K L Mの最小公倍数を使えばよいのは解るのですが、GCD(m,a)の「a」が理解できません。「m」はK L Mの最小公倍数だと思うのですが、「a」は何になるのでしょう？
x≡2 (mod 4)
x≡4 (mod 12)
x≡3 (mod 9)
の場合を例として、具体的に解法を教えてください。
よろしくお願いします。もしも上式が連立合同式として成立しないのであれば、その理由も教えてください。
中国式余剰定理では、( mod ○ )が「互いに素」ではない場合にも解を求める事ができると、参考書にはあるのですが、最小公倍数を使う事しか理解できません。
具体的な解法で、よろしくお願いします。
お礼
困ってたので凄く助かりました(^^) また分かりやすく書いていただいて光栄です！ 本当にありがとうございました<m(__)m>