eを正の定数とし、点Aの極座標を(3,0)とする。

質問

eを正の定数とし、点Aの極座標を(3,0)とする。
また、Aを通り始線OXに垂直な直線をgとする。
極Oと直線gからの距離の比がe:1と一定である点P
の軌跡を表す極方程式を、次の場合について考えよ。

と言う問題でe=3のときを考えるのですが、
解答書によると点Pは直線gの両側に存在するので、
左側にある時をr>0、右側にある時をr<0とする。
と書いてありました。

しかし自分は、確かに点Pが左と右にあるときで
場合分けしたのですが、rの正負は特に決めず
左側にある際はr:(3-rcosθ)=3:1で、右側に
ある際はr:(rcosθ-3)=3:1としました。
すると答えが2通りでてきたのですが、解答によると
答えは1通りとなっています。つまり、
点Pが左と右にある場合でrの正負を変えているので、
答えが1通りになっているのだと思います。
しかし、なぜrの正負を分けなければいけないかが
いまいちわかりません。是非ご教授ください。

回答No.1

noname#185706 · ベストアンサー

>点Pが左と右にある場合でrの正負を変えているので、答えが1通りになっているのだと思います。

その通りですね。r > 0 で座標(r, θ)の点は r < 0 では座標（r, θ+π)を持つとするのでしょう。r > 0 として右側に対して求めた解で r → -r かつ θ → θ+π とすると、左側に対する解と同じ形になります。

しかし、これはそうしなければならないということではなく、解のひとつの表現方法であるにすぎないのではないでしょうか。（極座標で r < 0 とする例を初めて見た数学素人の推測です。）

お礼

ご回答ありがとうございます。
たしかに(r,θ)⇔(-r,θ+π)というのは極座標の定義にもありますね。
一つの表現方法と言うことで捉えることにします。