次の式を展開して下さい。。

質問

次の式を展開して下さい。。

(1-x)(1-x^2)(1-x^3)(1-x^4)(1-x^5)・・・

どんな方法で展開するか知りたいです。
お願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

xの次数で考えます，
0次　係数1
1次　係数-1
2次 係数-1
3次　係数0
4次　係数0
5次　係数1
という感じです．

x^nの係数を考えたければ
(1-x)(1-x^2)・・・(1-x^n)だけを考えればよく
この展開からx^nの係数を求めたければ
1,2,3,...,n の数字をどう組み合わせれば和がnになるのかを考えます
nをn以下の自然数の和で表す方法を考えます．
このとき，使う自然数の個数が偶数個の組の個数を e
使う自然数の個数が奇数個の組の個数を o
とすれば係数は e-o です．

これは組合せ論での「母関数」と呼ばれる考え方で
級数の各項の係数が，何かの組合せに対応することを考えて
級数の係数を組合せ論的に考える，
逆に組合せ論的な数を級数から考えるというものです．

この質問の問題に関しては完全な答えがすでに分かっています．
オイラーの五角数定理といいます．