組み合わせの問題

質問

みなさん、こんにちは。教えてください。

　２４人でゲームをするとします。６人テーブルを４つ作ります。３回戦行うのですが、もちろん毎回組み合わせは変えます。
　問題は「同じ人と対戦するのがなるべく少なくなる組み合わせを考える」というものです。
　補足すると
・同じ人と対戦するのは２回まで（３回は不可）
・同じ顔合わせをできるだけ少なくしたい（３人と当たってしまう組み合わせはできます。２人ができないか）
・全員同じ条件

　おわかりいただけたでしょうか？
　どういう道筋で考えればいいかよくわかりません。
　よろしくお願いします。

回答No.1

nakaizu · ベストアンサー

3人と当ってしまうという意味がはっきりしませんが、適当に作ってみました。
1～24の数字で人を表します。
1回戦
1,2,3,4,5,6
7,8,9,10,11,12
13,14,15,16,17,18
19,20,21,22,23,24
2回戦
1,2,7,13,14,19
3,4,8,15,16,20
5,9,10,17,21,22
6,11,12,18,23,24
3回戦
1,3,9,11,13,21
2,4,10,12,15,23
5,7,17,18,20,24
6,8,14,16,19,22

この例では1の人が2,3,13の3人と2回対戦していますが、このような人がないように組合わせを作るのは不可能です。(証明できますが省略します。)
これくらいが精一杯かなと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

　やはり、３人の人と２回当たってしまうのですね（そういう意味です）。しかも証明できる！　安心しました。

回答No.2

ryn

１回戦の４つのテーブルにいる人を
　Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅ,Ｆ
　ａ,ｂ,ｃ,ｄ,ｅ,ｆ
　あ,い,う,え,お,か
　ア,イ,ウ,エ,オ,カ
とします。

同じ顔合わせなしでいけるかを考えてみます。

Ａという人の立場で考えると、
２回戦は英語大文字の人とは組めないので
他の３つのテーブルから５人選ぶことになります。
すると、Ａ以外の誰かは１回戦で対戦した相手と
再び対戦することになるので
「全員同じ条件」を満たすようにはできません。

ということで、同じ人と２回までで考えてみます。
１回戦を１番上の表のような組み合わせとして、
とりあえず、Ａが２回戦でＢと再び対戦するとします。
また、なるべく対称性を考えて３番目の条件を満たす方向で進めると、
２回戦は
　Ａ,Ｂ,ウ,エ,お,か
　ａ,ｂ,Ｃ,Ｄ,オ,カ
　あ,い,ｃ,ｄ,Ｅ,Ｆ
　ア,イ,う,え,ｅ,ｆ
のような組み合わせが考えられます。

さらに、３回戦はＡがＢ以外の英語大文字の人と対戦するとして、
今はその相手にＤを選ぶと
　Ａ,Ｄ,イ,オ,う,か
　ａ,ｄ,Ｂ,Ｅ,ウ,カ
　あ,え,ｂ,ｅ,Ｃ,Ｆ
　ア,エ,い,お,ｃ,ｆ
のような組み合わせが考えられます。
nakaizu さんと同じ結果ですが、
Ａは「Ｂ,Ｄ,か」の３人と２回対戦することになります。

あまり筋道といえるようなものではないですが、
全員同じ条件が必要なので巡回置換を考えたくらいです。

お礼

回答ありがとうございました。

　大変わかりやすい説明で助かりました。