年金型投資商品の現在価値について教えて下さい。

質問

年金型投資商品の現在価値について教えて下さい。

１年目からｔ年目まで毎年、一定額Cが支払われる年金型投資商品の現在価値を求める公式は、下記と言う事ですが、理解出来ません。解説して頂きたく、お願いします。

PV＝C×（１／ｒ－１／ｒ（１＋ｒ）ｒ）

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

＞PV＝C×（１／ｒ－１／ｒ（１＋ｒ）ｒ）

式が違います。正しくは、
PV＝C×（１／ｒ－１／（ｒ（１＋ｒ）＾ｔ））

数列で考えてみましょう。

現在価値をV_0とし、ｎ年後の価値をV_nとすると、
V_n=V_(n-1)×(1+r)－C
となります。（前年の価値に利息が付いて、そこから一定額が支払われる）

この数列の一般形は、
V_n=V_0×(1+r)^n－C×((1+r)^n-1)/r

ｔ年後には、価値は0になるので、
0=V_0×(1+r)^t－C×((1+r)^t-1)/r
つまり、
V_0×(1+r)^t＝C×((1+r)^t-1)/r
V_0＝C×(1-1/(1+r)^t)/r
これが現在価値になります。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。
確かに、問題の式は間違っていました、私の転記ミスです。

しかし、数学おんちの私にはまだ良くわかりません。そもそも数列が良くわかってないかも。。。

＞V_n=V_0×(1+r)^n－C×((1+r)^n-1)/r
この式の「V_0×(1+r)^n」の部分は現在価値のｎ年後の価値、というのはわかりますが、そこから引く一定額Cになぜ「((1+r)^n-1)/r」を掛けるのでしょうか？？？
ｎ－１年の複利をディスカウントレートのｒで割って、、、うーん、わかりません。。。

よろしくお願いします。

補足

早速のご回答ありがとうございます。
確かに、問題の式は間違っていました、私の転記ミスです。

しかし、数学おんちの私にはまだ良くわかりません。そもそも数列が良くわかってないかも。。。

＞V_n=V_0×(1+r)^n－C×((1+r)^n-1)/r
この式の「V_0×(1+r)^n」の部分は現在価値のｎ年後の価値、というのはわかりますが、そこから引く一定額Cになぜ「((1+r)^n-1)/r」を掛けるのでしょうか？？？
ｎ－１年の複利をディスカウントレートのｒで割って、、、うーん、わかりません。。。

よろしくお願いします。