（ｘ＋ｙ）10乗の係数を教えてください

質問

中学３年生の数学の問題にチャレンジしているのですが、頭が混乱してきました。
自力で解かないと意味がないことは承知しているのですが、教えてください。

回答No.6

hakuryuu · ベストアンサー

１　
　　　　　　　　　 １ １
　　　　　　　　　　　１ ２ １
　　　　　　　　 １ ３ ３ １
　　　　　　　　 １ ４ ６ ４ １
　　　　　　　 １ ５ 10 10 ５ １
　　　　　　　１ ６ 15 20 15 ６ １
　　　　　　１ ７ 21 35 35 21 ７ １
　　　　　１ ８ 28 56 70 56 28 ８ １
　　　　 １９ 36 84 126 126 84 36 ９ １
　　　　１10 45 120 210 252 210 120 45 10 １

このような三角形を見たことあるでしょうか。
この三角形は上の二つの数字を足したものが
下の数字になります。
上から三段目が(x+y)2乗、四段目が(x+y)3乗という風になっています。そして一番下にあるのが(x+y)10上になります。もちろんもっと下まで続きますが・・・

よって、(x+y)10乗の係数は
左から１、１０、４５、１２０、２１０、２５２
　　　２１０、１２０、４５、１０、１

お礼

根気のいる丁寧な方法を教えてくださいましてありがとうございました。パスカルの三角形の展開方理解することが出来ました（理由はまだ理解できていませんが）もう少し勉強して見ます。本当にありがとうございました。

補足

パスカルの三角形を詳しく展開下さいまして有り難うございます。上の二つの数字を足していく法則は理解しました。式となると＊１Ｘ10＋１０Ｘ9Ｙ＋４５Ｘ8Ｙ2＋・・・・・・＋４５Ｘ2Ｙ8＋１０ＸＹ10＋１Ｙ10と記入することになるのでしょうか？そしてこの式はパスカルの三角形を用いて解いたと言えばいいですか？
もう一度教えてください

回答No.7

ery005

～～これは高校1年の解き方です～～

パスカルの三角形使ってもいいんですが、10乗にまでなると面倒臭いですね・・・
私は応用できる2項定理をオススメします。

１、まずx^10 x^9y^1 x^8y^2 x^7y^3 x^6y^4・・・y^10
のように、係数を除いたｘとｙが、このように変化して行きます。
２、それぞれの係数を考えます。
10Ｃ0　10Ｃ1　10Ｃ2　10Ｃ3　10Ｃ4・・・と変化します。
　　　＊ｎＣｒの計算方法
　　　・ｎの数字を、ｒ個1ずつ減らして掛けていく
　　　・上の数値を、ｒの数値を1ずつ減らして掛けた数値で割る
　　　・ｎＣ0はｎがどんな数字でも１になる。

　　　・例えば5Ｃ2は(５＊４)÷(２＊１)＝１０
　　　・例えば10Ｃ4は(１０＊９＊８＊７)÷(４＊３＊２＊１)＝２１０

係数のみを考えるのであれば、２番の行程だけでＯＫかな？

例：(ｘ＋ｙ)の４乗
　4C0*x^4 + 4C1*x^3y + 4C2*x^2y^2 + 4C3*xy^3 + 4C4*y^4
＝x^4 + 4x^3y +6x^2y^2 +4xy^3 y^4

というふうになります。

お礼

ごめんなさい＝上記方法まだ理解しかねています。
でもせっかくの教えですので理解できるまで頑張ってみます。ありがとうございました。

回答No.5

arukamun

こんばんは

係数だけでしたら、パスカルの三角形でよいと思います。

　　　　　　　　　　　　　1
　　　　　　　　　　　　1　 1
　　　　　　　　　　　1　 2　 1
　　　　　　　　　　1　 3　 3　 1
　　　　　　　　 1　 4　　6　　4　 1
　　　　　　　1　 5　 10　 10　 5　 1
　　　　　　1　 6　 15　 20　 15　 6　 1
　　　　 1　 7　 21　 35　 35　 21　 7　 1
　　　1　 8　 28　 56　 70　 56　 28　 8　 1
　 1　 9　 36　 84　126　126　84　 36　 9　 1
1　10　45　120　210　252　210　120　45　10　1

といったように、右上と左上を足したものを下に書いて行きます。

お礼

何とか１５乗まで展開できました。２０乗まで頑張ります。面倒な作業ありがとうございました。

補足

パスカルの三角形記入して頂くだけでも大変だったのでは、有り難うございます。厚かましさのついでに教えてください。（Ｘ＋Ｙ）20乗のＸ10乗、Ｙ10乗の係数は？となるとさらにパスカルを２０乗まで解いていき調度真ん中に来る数字の事になりますか？根気よく２０乗まで解いていけばいいですか？

回答No.4

noname#24477

中学生でこんな問題までやるのかな？

中学校でやる知識だけで計算するならｘ＋ｙをどんどんかけていけばよい。
そうすると法則性に気が付くでしょう。

高校ぐらいの知識を使っていいのなら二項定理とかパスカルの三角形とか
　　　　１１　　　　　　１乗
　　　　１２１　　　　　２乗
　　　１３３１　　　　　３乗
　　　１４６４１　　　　４乗
　１５１０１０５１　　　５乗
　１６１５２０１５６１　６乗

ここまでくれば規則性がわかりますね。

お礼

（Ｘ＋Ｙ）をかけていく方法は、数が多くなるほどに頭が痛くなります。私が数学が好きになれない要因の一つです。回答ありがとうございました。

回答No.3

oshiete_goo

特定のところ（x^3y^7の係数など）であれば，
２項係数(組合せのnＣr)を使う手もありますが，
全体的には「パスカル（Pascal）の三角形」を調べてみるとよいでしょう．
規則性が分かれば容易です．

参考ＵＲＬ
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/pascal/pascal.htm

http://www.kjps.net/user/kakuritsu/pascal.html

お礼

ご親切に、参考ＵＲＬを教えてくださいましてありがとうございました

回答No.2

gimpei

パスカルの三角形は知ってますか？

参考URL：

http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/MathTopic/pascal/pascal.htm

お礼

ご親切に、参考ＵＲＬを教えてくださいました。ありがとうございました

回答No.1

zetafunction

パスカルの三角形というのは知っていますか？
それを用いると
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1

となります。

お礼

ＮＯ１さんをはじめ、パスカルの三角形を教えてくださいましてありがとうございました。パスカルの展開方法は何とか理解できたと思いますが、意味はまだよくわかりません。これからの私のがんばり次第でしょうか？。皆様本当にありがとうございました。