４角形ABCDが円に内接しており
４角形ABCDが円に内接しており
AB=BC=2,CD=3,DA=5
である。このとき
(1)対角線BD,ACの長さをそれぞれ求めよ。
(2)４角形ABCDの面積を求めよ。
(3)対角線BD,ACの交点をEとするとき、∠AEBの大きさを求めよ。
という問題です。解いてみた結果、
(1)は、BD=√19,AC=16/√19
(2)は、4√3
となりました。
(3)は、
∠AEB=αとおくと
∠AEB=∠DEC=α
∠AED=∠BEC=180°-α
したがって
?AEB=(1/2)*AE*EB*sinα・・・?
?AED=(1/2)*AE*ED*sin(180°-α)
=(1/2)*AE*ED*sinα・・・?
?BEC=(1/2)*BE*EC*sin(180°-α)
=(1/2)*BE*EC*sinα・・・?
?CED=1/2*CE*ED*sinα・・・?
?+?より
(1/2)*AE*(BE＋ED)sinα・・・?
?＋?より
(1/2)*EC*(BE+ED)sinα・・・?
?+?より
(1/2)*(BE+ED)*(AE+EC)*sinα
=(1/2)*BD*AC*sinα
=(1/2)*√19*(16/√19)
=8*sinα
となり、この４つの三角形?AEB,?AED,?BEC,?CEDの面積の和は、
四角形ABCDの面積に他ならないので、(2)の結果と合わせると、
8sinα=4√3
∴sinα=(√3)/2
となり、0°＜α＜180°より、sinα=(√3)/2をみたすαの大きさは
60°,120°
ここまでやってみました。作図したものからは、鋭角の方になると思いますが、
その根拠が示せません。どのように示せばよいのでしょうか?
よろしくお願いします。
