四面体の体積最大

質問

四面体ＡＢＣＤで、ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝ＤＡ＝１である。
この体積の最大値を求めよ。

つぎのような方針で考えましたが、簡単な別解があったら
紹介してもらえないでしょうか。

ＢＤの中点をＭとして、四面体ＡＭＣＤの体積最大をもとめる。
ＡＭ＝ａ　とおくと、ＤＭ＝√（１－ａ＾２）　
ＡＣ＝２ｋとおくと、
四面体ＡＭＣＤの体積の３倍は、
ｋ√（ａ＾２－ｋ＾２）√（１－ａ＾２）
となる。ｋを固定して、ａ＾２＝ｘの関数とみて、最大値をもとめよ。
つぎに、ｋ＾２＝ｔの関数とみて、最大値をもとめる。
このような流れで考えました。
先ずは、この流れで間違っていないのか。また、別解を紹介してください。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

この四面体はひし形ABCD を対角線BD で適当に折り曲げた形になるので, 2平面ABD, BCD が垂直のときに体積は最大. そしてその値は AM=a で決まる.
かな.

お礼

ありがとうございます。
2平面ABD, BCD が垂直のときに体積は最大. そしてその値は AM=a で決まる.この意味を図で考えて、なんとなくわかりました。
垂直な面の片方を底面と考えて、三角すい（ちょっと変わった立体）の体積をａで表せばよいのか。底面に平行に切断した三角形は相似だから、底面積×高さ÷３の公式が使える。
よって、体積は１／３×ａ×ａ×√（１－ａ＾２）で、
最大になるａは、√のなかに入れて、微分で、・・・・
ずいぶん計算が楽になりました。

回答No.2

naniwacchi

こんにちわ。

三角形ABDと三角形CBDは、ともに底辺を BDとする二等辺三角形になります。
ちょうど、「くちばしのようについている 2つの二等辺三角形」の付け根が辺BDになっている感じです。

口が大きく開いているとき（垂直になっているとき）に体積は最大になります。
あとは、口の「すぼめ具合（辺BDの長さ）」によって体積が決まります。
・口をすぼめれば、高さは稼げますが、底面積が小さくなり、
・口を大きく開けば、底面積は大きくなりますが、高さが低くなります。

この間をうまくとる値を計算で求めることになります。

お礼

ありがとうございます。
ずいぶん参考になりました。垂直の条件のときに
最大になることが分かるだけで、計算が楽になります。
立体を２等分にした私の考え方が、そもそも間違っていました。