難問です(*_*)

質問

難問です(*_*)

(10/9)の5乗根を計算過程も書き、小数点第五位で四捨五入し答えを出せますでしょうか？
お分かりになられる方、何卒宜しくお願い致します。

回答No.3

Mr_Holland · ベストアンサー

テイラー展開で求めてはいかがでしょうか。

　　f(x)＝(1+x)^(1/5)
　　　　＝1 + x/5 - x^2/25 + 6x^3/125 - 21x^4/625 + ・・・

＞小数点第五位で四捨五入し

　この精度が必要ならば、(1+x)^(1/5)　のテイラー展開の剰余項が　四捨五入に影響を与えない範囲（1/10^5 程度）となる　３次近似まで必要かと思います。
　したがって、次のテイラー展開の式を使うと良いと思います。

　　f(1/9)＝1+ (1/9)/5 -2(1/9)^2/25 + 6(1/9)^3/125 + R4　（R4：剰余項）

　この式で計算すると、次の結果が得られます。

　　(10/9)^(1/5)＝　1.021300412　＋　4.72392E-06　　（第２項は剰余項）
　　　　　　　　≒　1.0213

　ここで、厳密を期すならば、Ｒｎを計算して　1/10^5　程度以下であることを示しておくのが良いと思います。
　ちなみに、Ｒｎは次の式で計算できます。

　　R4＝1/3! ∫[0→1/9] (1/9 -t)^3 36/125 (1+t)^(-14/5) dt

お礼

ありがとうございます。
No2の方と同様、大変参考になりました。
夜分遅くにご回答頂きまことにありがとうございます。
No2の方と双方をベストアンサーとしたいですが
厳密な誤差の考慮までして頂きましたので、ベストアンサーに
選択させて頂きます。
本当にありがとうございました。

回答No.2

info22_

5乗根を解くのは
実数の範囲ですか？
複素数の範囲ですか？

実数の範囲なら
Googleで
(10/9)^(1/5)
と入力しGoogle検索ボタンを押してください。

(10 / 9)^(1 / 5) = 1.02129569
と計算してくれるので小数5位を四捨五入して
1.0213
と得られます。

手計算なら、
(1+(1/9))^(1/5)
とかけるので
(1+x)^(1/5)≒1+x/5-(2x^2)/25+(6x^3)/125-(21x^4)/625
という多項式近似式（マクローリン展開を4次で打ち切った多項式）で
x=1/9を代入すれば
(10/9)^(1/5)≒1.0212953≒1.0213
と求まるね。
少数以下4桁までなら３次の項で打ち切っても何とかなりますね。

お礼

ありがとうございます。
大変参考になりました。
マクローリン展開およびテイラー展開を全く覚えておりませんでした。
夜分遅くにご回答頂きまことにありがとうございます。
Googlの機能も活用させて頂きます。

回答No.1

proto

すぐに思いつく方法としては、
x<<1のとき
　　(1+x)^p ≒ 1+p*x
という一次近似を使う。

　　10/9 = 1 +1/9
より
　　(10/9)^(1/5) = (1 +1/9)^(1/5) ≒ 1 +(1/5)*(1/9)
　　　　　　　　 ≒ 1 +1/45 = 1.02222222
小数点第5位で四捨五入して
　　(10/9)^(1/5) ≒ 1.0222

もっと精度が必要なら二次近似,三次近似を使えばよい。

お礼

早速のご回答誠にありがとうございます。近似値の考え方がすっかり抜け落ちておりました。
ご回答に対するご質問なのですが、この場合に二次近似値を使用する方法が分からないのですが、具体的にご教示頂けますでしょうか。宜しくお願い致します。