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[確率の求め方]複数のものから特定のものを取り出さない確率の求め方
次の場合の確率の求め方を教えてください。 ５つの爆弾があり、その内３つは不発弾です。 残りの２つはその両方に接触した場合に爆発します。 この５つの爆弾に１つずつ接触していくとき、 その接触回数ごとに爆発が起こらない確率を教えてください。 1. この確率が求められる式と 2. その式を求めるまでの理論 を教えてください。 【参考】 ５つの爆弾のうち4つが不発弾、１つが爆発する爆弾であるときの 接触回数ごとの爆発が起こらない確率は、 ・一回の接触であれば4/5 ・二回の接触であれば4/5 × 3/4 となるんだろうな、という程度は理解できています。
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こんばんは。 爆発する爆弾を×、不発弾を○とします。 仮に、爆発した後も残りを触り続けるとして、 ５回のうち、×には２回触れます。 これを１回目から５回目まで書き出すと、 １２３４５ ××○○○ Ａ ×○×○○ Ｂ ×○○×○ Ｃ ×○○○× Ｄ ○××○○ Ｅ ○×○×○ Ｆ ○×○○× Ｇ ○○××○ Ｈ ○○×○× Ｉ ○○○×× Ｊ の１０通りがあります。 なぜなら、５か所ある中から２か所（３か所でもよいですが）を選ぶ組み合わせの数は、 5Ｃ2 ＝ ５×４／（２×１）＝１０（通り） だからです。 （あ）１回目までに爆発する確率は、０。 （い）２回目までに爆発する確率は、2Ｃ2／１０ ＝ １／１０ （う）３回目までに爆発する確率は、3Ｃ2／１０ ＝ ３／１０ （え）４回目までに爆発する確率は、4Ｃ2／１０ ＝ ６／１０ （お）５回目までに爆発する確率は、5Ｃ2／１０ ＝ １０／１０ それぞれの差を取って、 ちょうど２回目爆発 ＝ （い）２回目までに爆発 － （あ）１回目までに爆発 ＝ １／１０ － ０ ＝ １／１０ ちょうど３回目爆発 ＝ （う）３回目までに爆発 － （い）２回目までに爆発 ＝ ３／１０ － １／１０ ＝ ２／１０ ちょうど４回目爆発 ＝ （え）４回目までに爆発 － （う）３回目までに爆発 ＝ ６／１０ － ３／１０ ＝ ３／１０ ちょうど５回目爆発 ＝ （お）５回目までに爆発 － （え）４回目までに爆発 ＝ １０／１０ － ６／１０ ＝ ４／１０ となります。 「その接触回数ごとに爆発が起こらない確率」は、それぞれ１から引けば良いです。 ご参考に。
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- Mr_Holland
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接触回数ごとに、一つずつ、爆発が起こる確率を考えていきます。 ｎ回目で爆発する確率を P(n) とします。 １） １回目で爆発する確率 P(1)＝０ ２） ２回目で爆発する確率 ５個のうち２個接触する場合の数は 5C2 接触する２個のうち爆弾２個である場合の数は 2C2 P(2)＝2C2/5C2＝1/10 ３） ３回目で爆発する確率 ５個のうち３個接触する場合の数は 5C3 接触する３個のうち爆弾２個である場合の数は 3C2 ただし、3C2/5C2 で得られる確率は３回目までに爆発する確率で、２回目で爆発する確率が含まれているので、 P(3)＝3C2/5C2 - P(2) ＝1/5 以下、同様に、 ４） ４回目で爆発する確率 P(4)＝4C2/5C2 - P(2) - P(3) ＝3/10 ５） ５回目で爆発する確率 P(5)＝5C5/5C5 - P(2) - P(3) - P(4) ＝2/5 （ちなみに、P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)＝１ となっています。） あとは、これを爆発が起こらない確率 1-P(n) に置き換えれば 求める確率が得られます。 １回目で爆発が起こらない確率： １－P(1)＝０ ２回目で爆発が起こらない確率： １－P(2)＝9/10 ３回目で爆発が起こらない確率： １－P(3)＝4/5 ４回目で爆発が起こらない確率： １－P(4)＝7/10 ５回目で爆発が起こらない確率： １－P(5)＝3/5
お礼
回答ありがとうございます！ ちょっと考えましたがきちんと理解でしました。 コンビネーションで解決できるんですね、 数学から随分遠のいていたせいか思いつきませんでした。 丁寧な解説ありがとうございました！
お礼
回答ありがとうございます！ ○×の表記はとても分かりやすくきちんと理解できました。 また、自分の質問では明確に書けていなかったのですが、 特に知りたかったのは、ちょうどn回までの爆発、ではなく n回までに爆発する確率でした。 参考などから読み取っていただけたのか、 偶然解説に出てきたのかは分かりませんが、 その点を記述いただけたのは助かりました。 丁寧な解説ありがとうございました！