数IIIの範囲で教えて頂きたいところがあります！！

質問

基礎的な問題で申し訳ないんですけれども、以下の問題で少し皆さんの力を貸して頂けないでしょうか？？

　問題　関数 f(x)は、すべての数x,yに対して、
　　　　f(x+y)=f(x)+(y)
　を満たす

(1) nを自然数として、f(n)=f(1)^2を示せ
(2)すべてのxについてf(x)≧となることを示せ

(3) f(a)=0を満たすあるaが存在するならば、すべてのxについてf(x)=0となることを示せ。以下f(x)>0であるとする。

(4) f(0)=1, f(-1)=1/f(1),f(-2)=1/f(1)^2をそれぞれ示せ

(5) このようなfのような具体例を一つ挙げよ

回答No.4

naniwacchi · ベストアンサー

#2,3です。
入試の時期なので、受験生さんかと思っていました。
経済あたりを専攻されているのでしょうか？

f(0)のことですが、x＝ y＝ 0を代入すると f(0)＝ f(0)* f(0)となります。
移項し、因数分解すると
f(0)* { f(0)- 1 }＝ 0
よって、f(0)＝ 0 または f(0)＝ 1となります。

f(0)＝ 0のときは、f(x)＝ f(x+0)＝ f(x)* f(0)＝ 0となるので常に f(x)＝ 0となります。
（これは、問(3)の解答にも応用できる内容です）

f(0)＝ 1のときは、
f(1)＝ f(0+1)＝ f(0)* f(1)＝ f(1)
f(2)＝ f(1+1)＝ f(1)* f(1)＝ { f(1) }^2
f(3)＝ f(1+2)＝ f(1)* { f(1) }^2＝ { f(1) }^3

となって、f(n)＝ { f(1) }^nとなりそうなことがわかります。
数学的帰納法を使うともっと厳密に示すことができます。
（f(0)＝ 0のときも、f(n)＝ 0＝ { f(1) }^nということができますね）

(5)の具体例の一つは、f(0)＝ 0となることはわかると思います。
もう一つは、「指数関数」となります。

慣れないところで大変だとは思いますが、
今後も必要になるかもしれませんので、がんばってください。

お礼

ご教授ありがとうございます。非常に分かりやすかったです

これで単位も安泰です笑　助かります！

回答No.3

naniwacchi

#2です。
#1さんの補足がされていましたので、ヒントを。

x= y= 0を代入して、f(0)の値をまず考えてみてください。
あとは、0+1= 1, 1+(-1)=0, x+(-x)= 0などを考えていきます。
関数方程式では、f(0)からスタートすることが多いです。

(5)は思いつけば・・・ということもありますが、
f(x+a)= f(x)* f(a)の両辺を xで微分して
f '(x+a)= f '(x)* f(a)

x= 0とすれば、f '(a)= f '(0)* f(a)

f '(0)は定数、aは任意の数なのでこれを変数 xに置き換えて
f '(x)= k* f(x)（k= f '(0)とおく）

ここまでくれば、微分方程式として解くことができます。

お礼

すみません、わざわざご丁寧に。
おっしゃる通り、f(0)から始めてみようと思います。

文系大学に通っているので数学は不慣れなもので…
何とか解けそうだと思います。　ご協力ありがとうございます！

回答No.2

naniwacchi

「関数方程式」と呼ばれる問題ですね。
#1さんが言われているとおり、問題に少し間違いがあるように思います。

よくある形では、f(x+y)= f(x)* f(y)なのですが・・・

この形であれば、
(1)の問題の式は f(n)= {f(1)}^nになるように思います。
(2)は、「f(x)≧ 0」だと思いますが、これは示せます。
(3)以降も示すことができます。

お礼

映し間違えです。
申し訳けございません

関数方程式でもう少し調べてみます！

回答No.1

Mr_Holland

問題がおかしくありませんか？

　反例を挙げます。

＞　問題　関数 f(x)は、すべての数x,yに対して、
＞　　　　f(x+y)=f(x)+(y)
＞　を満たす

　この条件を満たす関数として　f(x)＝x　を例に考えてみます。
　このとき、f(x+y)は次のようになります。

　　f(x+y)＝x+y

＞(1) nを自然数として、f(n)=f(1)^2を示せ

　ｎ＝２の場合を計算してみます。

　　f(2)＝２ ≠　１＝f(1)^2

　成り立ちませんよ！

お礼

おっしゃる通りです。
問題を映し間違えましたorz

訂正。
・問題　f(x+y)=f(x)×f(y)。
・(2)f(x)≧0

です。申し訳ないです…