この問題の、以下の解答でわからない部分があります。

質問

問 三角形ABCにおいて、ｃcos = bcosC が成り立つとき、この三角形はどのような形をしているか。

解

ｃcos = bcosC ・・・(1)

b＞0, c＞0 であるからcosB,cosCは同符号。 ←
cosB,cosCがともに負のとき、∠B、∠Cがともに鈍角となり三角形にならない。 ←
ゆえにcosB,cosCはともに正であり、∠B、∠Cは鋭角。 ←

三角形ABCにおいて頂点Aから辺BCに下ろした垂線をAHとすると

ccosB=BH, bcosC=CH
(1)から BH=CH
Aからの垂線が底辺を二等分するから～・・・・

矢印の部分をなぜ言ったのか分かりません。これを言わなければccosB=BH, bcosC=CHからBH=CHが導けないでしょうか？よろしくお願いします。

回答No.1

kopanda116 · ベストアンサー

どんな三角形かを調べているので、さまざまな場合について調べてみることが必要です。
ひとつのことしか調査していないのに、物事を判断してしまうことと同じことです。

こういう場合はない
ということを示すことも重要です。
つまり、この問題ですと、ＢＨ＝ＣＨとなる以外の三角形は存在しない、ということを暗に示しています。

だから、”←”の部分は、数学的に必要なのです。

補足

早速のご回答どうもありがとうございます。夜分遅くにお手間を取らせてしまい、すみませんでした。今はパターンの記憶をする基礎の段階なので細かいことは気にせず先へ先へと進もうと思います。

回答No.4

naniwacchi

←の部分（＝角B、角Cがともに鋭角であること）は、

＞三角形ABCにおいて頂点Aから辺BCに下ろした垂線をAHとすると
このためです。
角Bもしくは角Cが鈍角だとすると、点Aから下ろした垂線は辺BC（点Bと点Cの間）とはなりません。
辺BCを延長した「直線BC上」となってしまいます。
すると、CHを表す式には角B（角C）ではなく、180度-角B（180度-角C）が現れてしまいます。

ちなみに、別解として次のような解法もあります。
正弦定理より、b/ sin(B)= c/ sin(C)
条件式を両辺かけあわせると
bc* cos(B)/ sin(B)= bc* cos(C)/ sin(C)

b, cはともに 0より大きいから、
1/ tan(B)= 1/ tan(C)
tan(B)= tan(C)

0＜ B＜ 180度、0＜ C＜ 180度であるから、B= C
ただし、0＜ B+ C＜ 180度でもあることから、B, Cはともに鋭角。

お礼

ご回答、どうもありがとうございます。参考になります。お手間を取らせてしまい、すみませんでした。

回答No.3

info22

>ｃcos = bcosC が成り立つとき
> 解
> ｃcos = bcosC ・・・(1)
問題の間違いやミスは必ず訂正してください。
訂正をおろそかにする習慣は受験やテストで減点されたり、誤りを見逃す原因になります。

正：ｃcosB = bcosC

>これを言わなければccosB=BH, bcosC=CHからBH=CHが導けないでしょうか？
角B,角Cは鋭角、鈍角、直角かによって導けないからです。なのでありえないケースを排除する必要があります。それによって三角形の形状が限定され、結論が導けるのです。

お礼

ご回答、どうもありがとうございます。仰るとおり、ミスがありました。今後、気をつけようと思います。お手間を取らせてしまい、すみませんでした。

回答No.2

de_tteiu

＞これを言わなければccosB=BH, bcosC=CHからBH=CHが導けないでしょうか？
導けませんね

仮に90°<cosCならば
bcosC＝CHになりません（CH=|bcosC|になります）

お礼

早速のご回答どうもありがとうございます。お手間を取らせてしまい、すみませんでした。