数列の問題が解けず困っています。

質問

a1=4、a[n＋1]－3a[n]＋2=0(n=1、2、3…)を満たす。

(1)このときΣ[k=1→n]ka[k]を求めよ。

(2)自然数nを3で割ったときの余りをb[n]で表す。
　Σ[K=1→3n]a[k]b[k]
を求めよ。

※文中の[　]は小さく書く文字を表すこととします。
見辛くて申し訳ありません。
よろしくお願いします。

回答No.3

guzuryu · ベストアンサー

漸化式を変形する
(a[n+1]-1)=3(a[n]-1)
b[n]=a[n]-1とすると、
b[n]=3^n
∴a[n]=3^n+1

(1)
Σ[k=1→n]ka[k]=Σ[k=1→n]k(3^k+1)
S=Σ[k=1→n]k3^k とすると、
S-3S=Σ[k=1→n]3^k-n3^(n+1)
-2S=(1-3^n)3/(1-3)-n3^(n+1)
S=(1-3^n)3/4+n3^(n+1)/2
Σ[k=1→n]ka[k]=(1-3^n)3/4+n3^(n+1)/2+n(n+1)/2…答

(2)
ΣのK=1→3n をk=1→nとして3つに分ける。
Σ[K=1→3n]a[K]b[K]
=Σ[k=1→n](a[3k-2]b[3k-2])+Σ[k=1→n](a[3k-1]b[3k-1])+Σ[k=1→n](a[3k]b[3k]) ……(a)

Σ[k=1→n](a[3k-2]b[3k-2])
=Σ[k=1→n]a[3k-2]
=Σ[k=1→n]{3^(3k-2)+1}
=3(27^n-1)/26+n …………(b)

Σ[k=1→n](a[3k-1]b[3k-1])
=Σ[k=1→n]2a[3k-1]
=Σ[k=1→n]2{3^(3k-1)+1}
=18(27^n-1)/26+2n …………(c)

Σ[k=1→n](a[3k]b[3k])=0……(d)

(b)(c)(d)を(a)に代入する。
Σ[K=1→3n]a[K]b[K]=21(27^n-1)/26+3n…答

途中計算を省略した箇所があるので、そのまま転記して提出等しないでください。

回答No.2

nag0720

求める手順は、

a[n]の一般形を求める。
Σ[k=1→n]a[k]を求める。

それができれば、
(1)は
ka[k]=k(3a[k-1]-2)=3(k-1)a[k-1]+3a[k-1]-2k
を利用してください。

(2)は、
c[n]=a[3n-2]b[3n-2]+a[3n-1]b[3n-1]+a[3n]b[3n]
とすれば、
c[n]=a[3n-2]+2a[3n-1]
Σ[K=1→3n]a[k]b[k]=Σ[K=1→n]c[k]

回答No.1

Tacosan

a[n] を求めればいいだけでは?