リニアモーターカー(磁気浮上車)の設計について死ぬほど困っています！！！

質問

リニアモーターカー(磁気浮上車)の設計について死ぬほど困っています！！！
システム工学を勉強しているものです.１年間のグループプロジェクトで磁気浮上車をつくることになったのですが、電磁気が苦手なもので
モデリングの時点で行き詰まってしまっています。質問は推進(リニアモーター)でなく、浮上、案内の安定化についてです。

添付の画像はあまり正しくないので捕捉します。

●ガイドレールは片側に強磁性磁石を利用し、車体にも片側に電磁石(ソレノイド)を設置、こちら側のみの吸引反発で案内(水平方向)の安定化を計ります。

●また、浮上に関しては、また地上レールにneodymium(ネオジム)磁石をS極が上になるように置き、車体の下方にやはり電磁石をS極が下になるように置き、反発力を調整する事で安定化させます。

●PICマイクロコントローラーを利用し、シンプルなState Space Controlによるフィードバックシステムで設計をする予定です。

●センサーはホールセンサーを利用しますが、まだどこに配置すべきかも決まっていません！

さて問題なのは、

１、電磁石(ソレノイドコイル)を設計について、有限長でのインダクタンスは求める方法はわかっているのですが、電磁石(磁界H1)と永久磁石(磁界H2)の間に働く力はどう定式化されて、ホールセンサでどう力を測定すればいいのでしょうか?

一般に二つの磁性体間に働く力Fは
F∝H^2
だと思うのですが、このH^2は
H^2=H1*H2
と私は認識しています。２つの磁性体間に存在する磁場自体は単純に両者の和でH1+H2ですよね?とすると、もしかしてこのH^2は
H^2=(H1+H2)^2
だったりしますか?

ホールセンサーを両者の間に置いた場合、これが検知するのはH1+H2ですよね?
H^2が前者(H1*H2)の場合どう反発力を測定すればいいのでしょうか?

2、磁力の調節は、電磁石に流す電流の制御によってなされますが、実験で磁力-電流曲線と磁力-AirGap曲線、またこれから電流-AirGap曲線を作って平衡点付近で近似的に直線と見なすことで線形化、また適当な係数kでもってF=k*iなどとし、
運動方程式
m(d/dt^2)x=mg-F (=mg-k*i)
と回路方程式
Ri+L(di/dt)=V
を合わせて、モデリングしようかと思ったのですが安直でしょうか?

さらにまだ問題があり、浮上の場合車体の４つ角に、案内の場合前後２カ所に、この電磁機構があり、それぞれを別々に制御していいとは思えないし(後ろが持ち上げたときに、前も押し上げてしまうことになり、結果必要以上の力が出て、安定化しない)、なにより個々についてのみの運動方程式が立てられません。 かといって各箇所をどうリンクさせればいいのか、、、、これを考えると、やはり磁力の働く１方向(x方向)のみででなく、車体の回転に絡む角速度yaw, pitch, rollの立式(もちろんy,z方向も)も必要なのでしょうか?
もしそうだとすると、あまりに混乱してしまって、、、

来週までに絶対状態空間表現まで持っていきたいのですが（＞＜）!!!!!!!!!

皆さん本気で協力お願いします!!!!!!

過去に設計したことある方は、設計書を見せて頂いたら、泣いて喜びますし、これに関わるリンクなどを張って頂くのも大いに助かります！

図々しいお願いですが、あまり頭は良くないので、解説は簡単な言葉で、詳しくして頂けたら幸いです！

回答No.4

foobar · ベストアンサー

ギャップの依存性については、よくわかりません。
（周辺の磁気回路がどうなっているか、に大きく影響を受けるとは思いますが。中心だけに鉄心をもったソレノイドと永久磁石だと双極子同士の力だとみなして計算してもよいのかも知れません。）

4つのアクチュエータとセンサ
とりあえず
Ａ　Ｂ

Ｃ　Ｄ
とセンサとアクチュエータを配置したとします。
センサ出力については、
１／４＊（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）が重心の上下（Ｆ１）に対応します。
また、(Ａ＋Ｃ)-(Ｂ＋Ｄ)が左右の傾き（Ｆ２）に
（Ａ＋Ｂ）－（Ｃ＋Ｄ）が前後の傾き（Ｆ３）に対応します。
（もうひとつ、（Ｂ＋Ｃ）－（Ａ＋Ｄ）という組み合わせがあるのですが、これはフレームの捩れに対応するので、制御に使うことはないかと思います。）

上記、Ｆ１，Ｆ２，Ｆ３に対して制御系を組んで、対応する操作量（アクチュエータの指示値）をＵ１，Ｕ２，Ｕ３とすると、
アクチュエータＡにはＵ１＋Ｕ２＋Ｕ３
ＢにはＵ１－Ｕ２＋Ｕ３，ＣにはＵ１＋Ｕ２－Ｕ３，ＤにはＵ１－Ｕ２－Ｕ３を入れることで制御できるようになります。
（操作量の符号は、重心の上下や傾きにＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄが正負どちらの係数で使われているかと対応しています。）

なお、最初に書いたように、磁束センサで位置を検出するのはかなり困難かと思います。（電磁石の発生する磁界の影響を受けるので。）

回答No.3

foobar

1.
力が電流に比例か二乗に比例か？
電磁石ー磁性体の場合には、電流の二乗に比例でよいかと思います。
磁性体に働く力は、磁性体の移動による磁気エネルギーの変化に比例で、
空間のエネルギはＨ＾２に比例（Ｈ∝電流）ですので。
電磁石ー永久磁石の場合には、Ｈ１＊Ｈ２のような形になって、一方が磁石で固定なので、電流に比例（鉄心による成分を考慮すると、定数項を含む一次式）になるかと思います。

Cy'の項
これは、運動に伴う空気抵抗などの抵抗分を表しているのではないでしょうか。

2. 電磁石の鉄心
感覚的には、吸引浮上だと鉄心は有利に働きますが、反発浮上だと特に電流が低い領域で不利な面（鉄心に作用する吸引力）が強いように思います。(定量的な評価はしていません。）
鉄心内部の磁束が反転するくらいの電流領域だと電流変化に対して力の変化の割合が大きくなるという有利な面も出る（反発浮上だと、少なくともこのレベルの電流は流してやる必要がある）と思いますが、電流の大きさ自体はかなり大きくなるように思います。

ちなみに現在実用化されている磁気浮上鉄道（国内のリニモ、上海の車両）ともに、吸引型の磁気浮上です。
（吸引型だと上下方向の安定化をする必要があるけど左右方向には本質的に安定です。反発型では上下方向は本質的に安定ですが左右方向が不安定になります。）

補足

毎度迅速な解答本当にありがとうございます！神様のようです。

１、さて、電磁石-永久磁石の場合には、電流に一次で比例とのことですが、『ギャップ長さ』依存についてはどうなのでしょうか？

H1*H2だと、それぞれの磁界がギャップ長xの二乗に反比例するので、結果磁力は4乗に反比例なのでしょうか？(磁性体の場合と併せて教えてくれると嬉しいです)

２、さて、おかげさまで、以上が解明されれば、どうやら、電磁石１対永久磁石１の制御系は状態空間表現まで頑張れそうです。

しかし、やはりフ最初の本分の通り、浮上だけでも車体４つ角にこの系があり、各位置での誤差をどのようにフィードバックすればよいのかが分かりません。

始めに頂いた回答で
『複数のアクチュエータがあるときには、運動の成分を
重心を平行移動させる成分
重心の回りに回転する成分
と独立した成分にわけて、制御を考えるのが良いかと思います。』
とありますが、申し訳ないです、お恥ずかしながら具体的に定式化を考えたときに想像がつきません。
光学センサーで位置を測定するのでなく、ホールセンサーで磁束を測定する場合はどうなるのでしょうか？

回答No.2

foobar

1.＃１の回答と重なりますが、コイル自身が作る磁界は、コイル自身にとっては、軸方向に圧縮、コイルの半径方向には拡張、あるいは鉄心と巻き線の位置関係が変わる（巻き線と鉄心に逆向きの力が作用して全体としては０）ような力になって、コイル全体を左右とか上下に動かす力にはなりません。コイル全体を動かす力は、外部磁界との相互作用によります。
数式としては（電磁石による磁界*永久磁石による磁界）に比例、の形になって、電磁石と永久磁石で同じ力になり、矛盾はおきません。
（永久磁石にとっては、鉄心の磁化も含めた電磁石の作る磁界が外部磁界になるので。）

反発(吸引力）の計算（定式化）は結構面倒でしょう。（鉄心に働く力を計算するには、電磁石位置の磁界の強さだけでは計算できなくて、磁界分布まで考える必要があるので。また、電磁石部分の磁界も均一じゃないでしょうから、それをどう扱うかも考える必要がある。）
また、計算しても誤差が結構大きいでしょうから、一度電磁石を試作して、磁石との位置、流す電流を変えて、発生する力を実測し、それを直線近似などして必要な関係式を導くのがよさそうに思います。

鉄心を使った電磁石と永久磁石の反発浮上はかなり難しそうに思います。
（鉄心単体だと吸引力になって、それを打ち消すだけの起磁力が余分に必要になるので。吸引浮上だと、逆に浮上を助ける力になって電流が少なくてすむのですが。）

磁界の強さでギャップを測るのは無理がありそうに思います。
浮上距離などの位置制御をするためにコイルの電流を変えると、ギャップの磁界が変化します。（位置が変わらないのに、磁気センサ出力が変動し、位置検出としては非常に大きなノイズになる。）
位置制御にならず、単にギャップの磁界を電磁石の電流で制御している、というような結果になりそうな気がします。

ちなみに、以前数人で磁気吸引浮上のモデルを作ったことがありますが、その時は浮上体が光を半分さえぎるような位置にセンサを置いて上下変化で光量が変化することを利用して制御しました。（制御系はＰＤ制御、電磁コイル間の制御の非干渉化（上下の制御と傾きの制御の分離）はしなかったかな。）
そのときは、永久磁石で吸引力をアシストさせて、ひとつ実際にコイルを作って浮上位置と浮上力、電流の関係をチェックして、浮上位置と必要な電流の関係を実測して浮上体の質量から制御系を線形モデル化、制御設計をやって浮上系を作ったような覚えがあります。

補足

再度ご丁寧な回答ありがとうございます！

１、コイル全体を動かす力についてですが、磁界分布が不均一なことから定式化が難しくそのままその式を用いるのは、現実的でないのは一応理解しているつもりです。　しかし、『その吸引反発力(磁力)がどの変数(電流・ギャップ距離)の何乗に比例(または反比例)しているか』など大まかな形は、実験データから近似線形化する上で最低限必要だということなんです。

具体的に言いますと、今個人的には以下の二つの磁気浮上モデルをほぼマネして、設計をしようと思っています。

●http://www.ehdo.go.jp/shizuoka/hamamatsu/kiyou/pdf_16/kiyou16_2_05.pdf#search='磁気浮上制御装置'
●http://k-lab.e.ishikawa-nct.ac.jp/paper/2005/hash_thesis.pdf　

しかし、ここで問題なのは、両研究書ともに、その磁気浮上系は電磁石と"鉄球"です。自分らが使おうと思っているのは、電磁石と"永久磁石"なので、式に変化があるのではないかと思っているのです。
コイル全体を動かす力が、foobarさんのおっしゃる(電磁石による磁界*永久磁石による磁界)に比例する力だとすると、電磁石による磁界のみ電流の１乗に比例し、永久磁石は電流に比例しませんから、磁力は電流に一次で比例するはずですよね？

ところが、両論文では、磁力は電流の２次に比例する形となり(何故２乗に比例するのかも分かりませんし)、この考えと矛盾するように思えるのです。(距離の２乗に反比例は納得です)

また、以下の論文では逆に電流に一次で比例する点は納得なのですが、今度はAirGapの４乗に反比例しています。(そして、dy/dt項の存在意義も分かりせん)

●http://www.seto.nanzan-u.ac.jp/msie/gr-thesis/ms/2006/takami/03mm088.pdf

ひとまず、これが決まらないと、線形化も何もあったものではなく、長々と書いて迷惑だとは思ったのですが、非常に重要な肝の部分なので、教えて頂きたく想います!!!

2、鉄心の話をして頂けましたが、電磁石を補助する意味で、芯として永久磁石を入れるのってどうなのでしょうか？　より難しくなりますかね？　　反発方向だと鉄心が上手く行かないのであれば、空芯にしようかと思うのですが、、、、

回答No.1

foobar

1. コイルが空芯なら、永久磁石によってコイル位置にできる磁束密度Bとコイル電流Iの積で力を表現する方が楽かと思います。
（コイルと永久磁石の両方による磁界が空間にはできていますが、自分自身の磁界同士（H2^2の項）はコイル重心を移動するような力にはならず（コイルが変形するような力になる）、浮上力には寄与しないと思います。）

2. 平衡点近傍で線形化し、モデル化するのはよく使われる手でしょう。
決して安直などでは無いと思います。
（安定制御の条件などの見通しもよくなりますし。）

3. 複数のアクチュエータがあるときには、運動の成分を
重心を平行移動させる成分
重心の回りに回転する成分
と独立した成分にわけて、制御を考えるのが良いかと思います。
例えば、位置センサの平均をとると、重心（中心）の位置ズレがわかるので、これを修正する信号を各アクチュエータに等しく配分し、
位置センサの差をとると傾きがわかるので、これを修正する信号を各アクチュエータの制御信号に足す、という具合にします。
こうすると、例えば、重心の移動を伴う運動は力が必要だけど比較的ゆっくりした制御、傾きの補正は力は少なくて済むけど高速な応答が必要、という特性の異なる制御を混在させることができます。

補足

迅速な回答ありがとうございます！！大変感謝します！！

始めに、添付した図のソレノイドコイルの向きが思いっきり間違っていて(実際はコイル中心軸がサイドレールと垂直、つまり図を90°回転した状態)、また浮上用の車体下方のコイルが永久磁石のように描いてありますが、電磁石です。
→参考用にもうひとつ質問つくりましたhttp://okwave.jp/qa5459885.html

1. 申し訳ないです、私の知識不足のためかこの電磁石において、磁束密度Bと電流Iの積で力を表すというのはパッとしません。 おそらく、磁束密度Bの中の長さlの棒に、電流iが流れる場合これにF=iBlの力が働くの原理のことと解釈したのですが、ソレノイドのような円形流の場合具体的に式としてどう表せるのでしょうか？

また、自分自身の磁界同士の影響を受けないとはどういうことでしょうか。私の解釈では電磁石が永久磁石から受ける力はH2^2に比例するもの(自分のH1の影響は無し)で、永久磁石が電磁石から受ける力はH1^2に比例する力であるとなり、結果つまり両者に働く力は異なることになるのですがそうなのでしょうか？　

バネや帯電した電極版の様に、双方に同じ大きさの力が働くものを今まで認識してらのですが、、、

最終的に、電磁石の浮上力はどう表せるんですか？

2.分かりました。やってみます！

3.位置センサー(光学センサですよね?)は利用せず、ホールセンサーによる磁力の大きさの測定から、あらかじめ実験で得た磁力-Airgapの関係で以て間接的に制御する予定なのですが、どうなりますか？ できれば具体式を挙げて下さるとわかりよりです！！

厚かましくも、詳細を希望してすいません。如何せん本当に切羽詰まってなきそうなもので、、、、