ガウス記号の問題の解き方が分かりません

質問

さっそくですが、質問させていただきます。

[ｘ]＋[ｘ＋１/３]＋[ｘ＋２/３]＝[３ｘ]を示せ

という問題ですが、
参考書によると、実数ｘの整数部分を[ｘ]とおくとき、上の式が成り立つことを示すには、ｘの整数部分をｎ、少数部分をα(０≦α＜１）とおいて、ｘ＝ｎ＋αとし、
また、左辺の第２、３項の形から
ⅰ)０≦α＜１/３
ⅱ)１/３≦α＜２/３
ⅲ)２/３≦α＜１　で場合分けして、調べなければならい、と
あります。

どうして、上の場合分けが必要なのか、理解が出来ないのです。

お分かりの方、どうかどうか教えて戴けないでしょうか。
よろしく、お願いいたします。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

x「自身」の整数・小数部分と
x+1/3、x+2/3の整数・小数部分とが違ってくることに注意しないといけません。

i)０≦α＜１/３
αが1/3よりも小さければ、1/3+α＜1、2/3+α＜1であることがわかります。
つまり、x+1/3、x+2/3の整数部分は、xと同じ [x]になります。

ii)１/３≦α＜２/３
1/3+α＜1ですが、1≦2/3+αとなります。
xと x+1/3の整数部分は同じですが、
x+2/3の整数部分は [x+1]となり、小数部分は 2/3+α-1= α-1/3となります。

iii)２/３≦α＜１
1/3+α、2/3+αともに、1以上になってしまいます。
あとは、ii)と同様です。

数直線上で点をとってみると、よりわかりやすいかと思います。

お礼

有難う御座いました。
数直線上およびグラフで考えたところ、スッキリしました。

私の過去の疑問は、場合わけのパターンで、
例えば、ⅰ)０≦α＜１/２とⅱ)１/２≦α＜１とかで、場合分けがなぜ出来ないというものでした。
ⅰ)場合ですと、０≦α＜１/３と１/３≦α＜１/２で右辺の値が違ってくることが当然で、荒唐無稽な場合分けです。

回答No.2

HANANOKEIJ

場合わけをして、3回示すとおしまいです。やってみるとわかります。やらないとわからないです。
[ｘ]＋[ｘ＋1/2]＝[２ｘ] この等式を示せ。[早稲田大学]
を最初に解いてみてください。

お礼

たしかに、冷静にやってみて分かりました。
有難う御座いました。