「箱が落下した時の衝撃」について教えてください。

質問

４５cmの高さから幅38.5cm横18cm高さ7.5cm重さ500ｇのプラスチック製の箱が角から頭の上に落ちた時の衝撃はどのくらいになるのでしょうか？
座っていて前かがみになっていて背骨のＳ字のクッションはほぼ効いてない状態です。
数学や物理や力学は全くわからないのですが・・・
教えていただけないでしょうか。

回答No.1

smallwillo

45cmの高さから、500gの物体を自然落下させた場合、その速度は約1.5[m/s]に達します。（この辺の詳しい説明は「加速度　公式」とでも検索すればたくさん出てきます）
この辺まではまあいいでしょう。ここからが本題です。

まず、箱と頭が衝突した際に衝突前後で頭が速度を持たない、言いかえれば頭が動かない状況を想定します。(質問文からこのような状況を想定しました)
このとき反発係数という概念を導入すると、
e:反発係数
v1:衝突前の箱の速度
v1':衝突後の箱の速度
として、
(1)e * v1 = -v1'
となります。
式からも分かると思いますが、反発係数とは衝突における速度の変化の関係を示したものです。
例えばe=1であれば、箱は衝突前の速度の逆向きに同じ速度で跳ね返ることになります。
この反発係数は、衝突する物体により異なります。
また、衝突における運動量の変化量はその物体が受けた力積に等しいので、
(2)F * Δt = m1(v1' - v1)
となります。
力積は、力Ｆと力が作用した時間Δtとの積で表せます。
(1)(2)式から、衝突において箱が受ける力積は、
(3)F * Δt = - m1(e * v1 + v1)
となります。
頭が受ける力と箱が受ける力は作用反作用の関係にありますから、頭は逆方向に同じ大きさの力積を受けることになります。

例として実際に計算してみます。
e = 0.1 (衝突した箱は衝突前の10分の1の速度で跳ね返る)
Δt = 0.02 (衝突の際に0.02秒間お互いに力を及ぼす)
と仮定したとき、
F = m1(e * v1 + v1) / Δt
= 0.5*(0.1 * 1.5 + 1.5) / 0.02
= 41.3[N]
となります。
大体、質量41kgの物の重さぐらいの力が加わることになる訳ですね。
当然、eとΔtによって結果は大きく変わりますからあくまでただの例です。

実際に頭とプラスチックの箱が衝突したときeとΔtがどれくらいになるか、実験により求めるしかありません。
質問文のみだと、これくらいの概算が限界だと思います。

参考URL：

http://fnorio.com/0062impulse_&_momentum1/impulse_&_momentum1.htm