箱に入る量

質問

縦・横・高さが合わせて100cmの箱に1cm角の正方形を入るだけ入れるとしたら、それぞれが何cmの箱が一番多くはいりますか？

日本語変かもしれないですけど…小包を作ってて、ふと考えました。
縦・横・高さの違いによってはもっと物がはいるのかなと(^_^.)
素朴な疑問ですけど・・お願いしますm(__)m

回答No.4

noname#20378 · ベストアンサー

感覚ではそうだが、実際に計算するとそうなるのか確認。
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縦,横,高さをそれぞれx,y,zとすると

x+y+z=100(cm)
f(x,y,z)=xyz(cm^3)とする

今xが特定の長さk(cm)とすると

x=k(0<k<100)
y=100-x-z=100-k-z

f(k,100-k-z,z)=k(100-k-z)z
z-f(x,y,z)グラフを書くと解るが上に凸で
これはz=0,100-kの時f(x,y,z)=0
つまり最大値はz=50-k/2の時。
よって
y=50-k/2
のとき
f(x,y,z)=k(50-k/2)(50-k/2)=2500k-50k^2+k^3/4という最大値を持つ

g(k)=2500k-50k^2+k^3/4と改めて置き
両辺をkで微分すると

g'(k)=3k^2/4-100k+2500
g'(k)=0となるのは
k=100(g(k)が極小値を取る...が仮定より条件満たさず)
k=33.3(g(k)が極大値を取る)

himajinが小数部分の扱いをよくわかってないので折角だから計算してみる。
INT(X)*INT(Y)*INT(Z)
X=32 Y=34 Z=34　　　　　→36992
X=33.3 Y=33.3 Z=33.3 　 →35937(ちなみにX*Y*Z=37034.25)
X=34 Y=33 Z=33 →37026

お礼

なるほどです！素朴な疑問がこのような形式で答えていただけるとは…ありがたいかぎりです！
すっきりしました(^^♪

回答No.6

since2005

馬鹿なので、エクセルでやってみました。
まず縦横高計１０だと一番容積の大きいのは３×３×４で３６です。
立方体に近い形が容積が大きいようだ、と思いました。

次に縦横高９だとやはり３×３×３＝２７が最大です。
単純にこれ↑を１０倍すると、３０×３０×３０です。
でも、１０足りません。
残りの１０で最大値をだすには、と考え冒頭の３×３×４をだしました。

数値が最大値であれば、容積も最大であるといえます。

だから、３３×３３×３４＝３７０２６が最大です。
あれ？と思いました。
たしか３×３×４が一番良いのでは？と。
で１０倍で３０×３０×４０しましたが、それだと３６０００です。

なるほど、立方体だ！
↑は、３３×３３×３４よりは、立方体としては今一歩です。（両方立方体ではありませんが、近さの問題で。。。）
実際に数値も少なかったです。
証明になっていないでしょうが、実際にそうなりましたよ。

この先使うことは無いでしょうが、何かすっきりしました。

お礼

なるほどです。。なんだか解りやすかったです(^^ゞ
すっきりしました。

回答No.5

ojisan7

himajinさんの計算で良いと思います。もっと簡単に計算するには、ラグランジュの未定乗数法を使えば良いと思います。x≧0,y≧0,z≧0,x+y+z=100を満たすR^3の部分集合は有界閉集合ですから、連続関数f(x,y,z)=xyzはその部分集合で極値を持ちます。ラグランジュの未定乗数法については、参考書等で調べて下さい。

お礼

ラグランジュの未定乗数法？初めて聞きました(^^ゞ参考にさせていただきます！

回答No.3

ojisan7

>1cm角の正方形

は、一辺が1cmの立方体の間違いではないでしょうか？

まだ、計算はしていませんが、直感的に答えるならば、立方体の箱が一番多く入りそうです。

お礼

はい。。。立方体が正しいですm(__)m
ご指摘ありがとうございます。

回答No.2

poponponpo

縦・横・高さが33cm.33cm.34cmの箱です。
一番少ないのは1cm.1cm.98cmの箱です。

お礼

なるほどです！一番少ないのまで解って、得した気分です。ありがとうございます！

回答No.1

mayhare

直感だけで答えます。

33×33×34 = 37026個が最大ではないでしょうか。
立方体に近い形が一番効率が良さそう

お礼

直感だとそうなりますね。なるほどです！！