微分方程式の解き方

質問

dy/dx=f(y) で
(1)f(y)=(1-y)^n×y^a (^がべき乗、nとaが定数）
(2)f(y)=(1-y)^n×(1+a×y)
(3)f(y)=(1-y)×{-log(1-y)}^n
の3つの方程式を解きたいのですが、解き方が良く分かりません。
教えて頂けると助かります。
数値解析で解ける方法でも結構です。
よろしくお願いします。

回答No.1

arrysthmia

微分方程式というか、
一階正規形ですから、ただの積分計算
x = ∫dy/f(y) ですね。

しかし、逆関数を求めて
y を x の式で書き表すのは、
難しいでしょう。
初等関数の組み合わせでは
不可能じゃないかな？
そのことを、ちゃんと証明することも
また難しいんだけど。

積分の方は、
(1) 「不完全ベータ積分」です。
成書にあたりましょう。
(2) 部分分数分解で、普通に積分できます。
工夫の余地無し。
(3) z = log y と置いて、
部分積分を繰り返し行いましょう。
∫(exp y)dy と ∫(exp y)(dy/y) とに
帰着されます。
最後の積分は、「指数積分」といって
有名なものです。