累乗根について

質問

nが奇数、a＞0のとき
-aのn乗根=-(aのn乗根)
と言えますか？理由も教えてください。分かりにくい表記ですみません。つまり、-aのn乗根はaのn乗根にマイナスをつけたものと=で結ばれるのでしょうか、ということです。よろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

xのn次方程式x^n=-aの実数解（これはnが奇数でa>0のときただ1つに定まる）を-aのn乗根と呼び、
xのn次方程式x^n=aの実数解（これはnが奇数でa>0のときただ1つに定まる）の符号を反転させたものを-(aのn乗根)と呼ぶ
のであれば、それらは
-aのn乗根=-(aのn乗根)
の関係がありますね。しかし、実数の範囲を超えて考えているのでしたら、-aのn乗根という表現で何を意味しているのかを明らかにしなければなりませんよ。xのn次方程式x^n=-aは複素数の範囲ではn個あります。

回答No.3

arrysthmia

奇数乗は、実数から実数への一対一写像ですから、
実数全域で定義された逆関数が存在します。
その逆関数を奇数乗根と定義すれば、
貴方の言うような「n 乗根」が得られます。
しかも、実数全域で連続な関数となります。

では、それで万事ok かと言うと、
貴方の「n 乗根」は、0 において微分可能でない
のが気になります。
また、偶数乗根に類似の方法が使えないので、
巾乗の指数を一般化してゆくときに、
底を負数まで拡張したことは、邪魔にこそなれ、
益がありません。

と、いう訳で、奇数乗根を負数まで広げることの
何がウレシイのか、よく分からないのですが、
質問文に書かれてあることは、全くその通りです。

お礼

補足質問を撤回します。すみません。ご回答ありがとうございました。

補足

間違いました。a＜0です。チャートにのっていたのですが、しっくり来なかったので、質問させていただきました。

回答No.2

info22

実数の範囲で実数根のみを考えるなら
言えます。

(-a)^(1/n)={a*(-1)}^(1/n)={a^(1/n)}*(-1)^(1/n)
=-{a^(1/n)}

なぜなら

(-1)^n=(-1)をn回掛けた積=-1

実数の範囲では両辺のn乗根をとると
-1=(-1)^(1/n)

複素数の範囲では
-aのn乗根は複素数の範囲で考えれば　n個存在します。
なので複素数（虚数）の範囲まで拡張した場合は
-aのn乗根=-(aのn乗根)
という等式では表現できませんので、言えません。

ただし、異なるn個のn乗根の組は
nが奇数、a＞0のとき
-aのn乗根の組と-(aのn乗根)組は一致します。