線型性について

質問

ｆ：R→R　とおいて、
　f(x+y)＝f(x)+f(y)　ｘ、ｙ∈R
を満たすものとします。このとき選択公理を仮定しなければ、このようなｆはR線型だということはできますか？　つまり、
　f(αx)＝αf(x)　α∈R、ｘ∈R
が成り立つか？
理由とともに教えてください。

回答No.2

settheory · ベストアンサー

失礼！寝ぼけて連続のところの議論がいい加減になってました。そこのとこはだめでした。

選択公理があるところ（ZFC）で、∀xy∈R(f(x+y)=f(x)+f(y))　かつｆは不連続　というものがつくれるなら、

選択公理がないところ（ZF）で　「∀xy∈R(f(x+y)=f(x)+f(y))　ならば　ｆは連続」　は証明できないと思います。
証明できてしまうと、ZFCでも上の命題が証明できるので、前の段落のことと合わせると、ZFCから矛盾がでてしまうと思います。

また、∀xy∈R(f(x+y)=f(x)+f(y))　という条件の下では、
「ｆがR線型」と「ｆが連続」は同値です。
右から左は、前の私の回答で述べています。
ｆがR線型の時、これは原点を通る一次関数になることがすぐわかります。（f(x)=xf(1) が成立するので）　これは連続になってます。

お礼

大変よく分かりました。
丁寧な回答、ありがとうございました。
納得です。

回答No.1

settheory

有理数のところなら成立するというのは、比較的簡単でしょう。
f(x/n)=f(x)/n （ｎは自然数）　となることを帰納法で示せば、ほぼ十分でしょう。f(mx)=mf(x) （ｍは整数）が成立することは容易にわかりますので。

ｆが連続であることがいえれば、実数まで拡張できると思います。
実数の性質より、αに収束する有理数列{a_n}がとってこれます。
f(a_n x)=a_n f(x) となるので両辺limitをとると、ｆが連続なら
lim f(a_n x)=f(lim a_n x)=f(αx)　が成立。一方、右辺は
lim a_n f(x)=αf(x) となります。（こちらはただの数列の極限）

連続の定義と、ｆの条件から　lim f(x)/x　(x→0) が極限値を持てばよいことがわかります。 lim f(1/n)/(1/n) (n→∞)　を考えると、f(1/n)=f(1)/n なので、limの中がf(1)になります。これはプラスの方から０に近づけた極限です。マイナスの方からも同じようにできるので、
lim f(x)/x　(x→0)　＝f(1)　となると思います。

多分これであってるかと。選択公理も使ってないはずです。どういう理由で選択公理をはずしたのかよくわかりませんが。

お礼

回答、ありがとうございます。
選択公理をはずしたのは、仮に選択公理を認めた場合、
　ｆ(x+y)＝f(x)+f(y)
を満たすｆで連続で無いものが存在するからです。従って選択公理をはずした場合、ｆは連続になるのかなと思って質問しました。ｆが連続になる理由は分かりますでしょうか？