場合分け 数03

質問

f(u)=∫[0,π]|sinx-ux^n|dx
の最小値となりうるuをnを用いて表すとき
どんなやり方がありますか？
先に被積分関数の絶対値記号外すのは無理ですよね。お願いします

回答No.7

info22 · ベストアンサー

#1,#2,#4です。

補足します。
x0とuの関係はA#4の中にも書きましたが1:1に対応する一価関数なので
u=g(xo),xo=h(u)といった関係にあります。
なので

f(u)をuで直接微分したい場合はxoを定数ではなく
xo=h(u)として扱う必要があります。
f(u)=f(sin(xo)/xo^n)=p(xo)

f(u)=p(xo)とxoだけの式にしてある場合は
df/du=(dp/dxo)(dxo/du)

f(u)=q(u,xo)と混在している場合は
df/du=(∂q/∂u)+(∂q/∂xo)(dxo/du)

という計算をします。

回答No.8

arrysthmia

x0 は u に依存しているから、
d/du をする際には定数ではないが、

∫dx をする際には、
x0 は x の走査と連動しないので、
「x0を定数と見なして積分」してよい。

No.5 補足に書かれているのは、
合成関数の微分に慣れているか否かという
心理的な抵抗の問題だと思う。

f(u) を u の関数と見るにせよ、x0 の関数と見るにせよ、
一変数関数で考えているのだから、
df/du = (∂q/∂u) + (∂q/∂xo) (dxo/du)
の式に偏微係数が出てくるのは、
合成関数の微分を公式として書き出すための便宜に過ぎない。
別段、二変数関数の増減を扱っている訳ではない。

回答No.6

arrysthmia

←No.5 補足

でしょう？
dx0/du に掛かる係数がゴッソリ消えるから、
df/du = 0 は簡単な式になる。

合成関数の微分で混乱するようなら、
無理をしないでも、No.4 のような方法で
コツコツ計算すればよいです。
自分で理解できる範囲の道具を使い
手探りで確実に正解するというのは、
大切なことです。

回答No.5

arrysthmia

そうかな？
f(u) を u と x0 の混在した式のまま
微分してみると、
df/du = 0 が x0 (だけ) についての
簡単な方程式になる。
ここから、f の (u についての)
臨界点が求まるから、
後は、それが極小か否か、
更に、最小か否か、確認すればよい。

補足

xoを定数と見なして積分するってことで良いですか？
それなら確かにI'(a)は出ました！
でもこのときaが式に現れないからよく意味がわからなくて…
ごちゃごちゃになっちゃいますね´`

回答No.4

info22

#1,#2です。

A#2の補足質問の回答
>ただ積分してうまくxoが消せないですね…
>うまく消し方法ないですかね？
uとxoは
u=sin(xo)/xo^n(0≦xo≦π)
という1:1の一価関数の関係にあります。
しかし
u=g(xo)とは表せても
xo=h(u)とは初等関数では表せませんね。
g(z)とh(z)は逆関数の関係にありますから、実際上は問題ないと思いますね。数値計算（Newton法、その他）すればxoに対するuは出てきますから。

なのでとりあえず
積分結果を全部xoで表して（uはsin(xo)/xo^nで置き換える）
f(u)=f(sin(xo)/xo^n)=p(xo)の最小値を考えて、その時のxoから
u=sin(xo)/xo^nを求めてやればいいかと思いますが。

お礼

やっばい
なるほどです！
数学好きなんですか？
もしや先生やってるとか？？

回答No.3

arrysthmia

そお？
x0 を u の関数と見て
df/du を計算すると、
かなり簡潔な式になるけど…

回答No.2

info22

#1です。
A#1の一箇所に誤植がありましたので訂正します。
>従って,nにより場合分けすれば、積分範囲の分割範囲が確定して絶対値をはずした積分の式が掛けますのでf(u)の積分が確定します。
誤:積分の式が掛けます
正：積分の式が書けます

A#1の続き(n≧1の場合)の補足

n=1の場合
0≦u≦1のとき
f(u)=∫[0,xo] (sin(x)-u*x)dx-∫[xo,π](sin(x)-u*x)dx
ただし、sin(xo)/xo=u
1≦uのとき
f(u)=-∫[0,π](sin(x)-u*x)dx

n≧2の場合
0≦u のとき
f(u)=∫[0,xo] (sin(x)-u*x^n)dx-∫[xo,π](sin(x)-u*x^n)dx
ただし、sin(xo)/xo^n=u

以上で　n　が正整数の時絶対値がはずせたことになります。
後は、nの各場合についてf(u)を最小にするuを求めることですね。

多分、n≧1のnの対しては　
0≦u≦1の範囲のuで　f(u)が最小値をとると思います。
あとはtanaken55さんの方で積分の実行あるのみです。

なお、
tanaken55さんのレスポンスがない...。
n=0,n<0の場合も考えるのかな？

お礼

返信遅くなってすんません！
ちなみにnは自然数なんでn≦0は必要なかったです><
親切にありがとうございます！
ただ積分してうまくxoが消せないですね…
うまく消し方法ないですかね？

回答No.1

info22

nは整数ですか？
整数でも正整数ですか？
ゼロや負の整数も取りえますか？

u≧sin(x)/x^nのとき
|sin(x)-u*x^n|=u*x^n-sin(x)
u＜sin(x)/x^nの時
|sin(x)-u*x^n|=sin(x)-u*x^n
と場合分けすれば絶対値自体は外れます。

しかし、nの値によって絶対値=0の境界線曲線が大きく変化するため、積分範囲の分割点が複雑に変化します。

u≦0
|sin(x)-u*x^n|=sin(x)-u*x^n (0≦x≦π)であるから
f(u)=∫[0,u](sin(x)-ux^n)dx
と確定します。
u＞0の時はnによって
境界曲線が複雑に変化するため場合分けしないと積分範囲の分割が確定しません。
従って,nにより場合分けすれば、積分範囲の分割範囲が確定して絶対値をはずした積分の式が掛けますのでf(u)の積分が確定します。