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運動方程式の問題：加速度と摩擦力について
- 運動方程式を使用して、質量Mの板Aの上に質量mの物体Bが乗っている場合の加速度を求める問題です。解答では、Bに作用する力とAに作用する力を運動方程式で表し、摩擦力が最大摩擦力を超えない条件を導き出しています。
- また、問題の中で与えられた条件に基づいて、BがAの上を滑り出す条件を求める問題も出題されています。解答では、AとBの間に働く力が最大摩擦力よりも大きくなるとBは滑り出すことを示しています。
- 質問者は、なぜBに働く力がR = m / (m + M) * Fとなるのか理解できないと述べています。解答では、水平方向の運動方程式からRを求め、最大摩擦力を超えない条件を導き出しています。
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＞一つ目は分かったのですが次が分かりません。 と書いてありますが １つ目からきちんとやるのがヒントです。 多分、「２つが一緒に動く時」、「別々に動く時」とを切り離して全く別の場合だとしておられるのだろうと思います。 全体の運動は部分の運動を組み立てて求めたものと同じになっていなければいけないというのは力学の原理です。 ＡもＢも動いています。外部からの力はＡだけに働いています。Ｂが動くためにはＡ、Ｂの間に何らかの力が働いている必要があります。 その力をｆとします。 Ａの加速度をａ，Ｂの加速度をｂとします。 運動方程式は Ｆ－ｆ＝Ｍａ ｆ＝ｍｂ です。Ａに対するｆの働きとＢに対するｆの働きは逆になっています。 作用・反作用の法則を使っています。 （１）の場合、Ａ、Ｂは一体となって動いているのですからａ＝ｂです。 Ｆ－ｆ＝Ｍａ ｆ＝ｍａ これより Ｆ＝(Ｍ＋ｍ)ａ ａ＝Ｆ/(Ｍ＋ｍ) ｆ＝ｍａ＝ｍＦ/(Ｍ＋ｍ) が出てきます。 ａの表現は初めから質量Ｍ＋ｍの物体が運動するとして出したものと同じです。どちらから出発しても同じ式になるはずなんです。 ｆの値もわかります。ｆは摩擦力であるとは限りません。紐でくくってある場合でも、のりでくっつけてある場合でも同じです。摩擦力はこういう力の中のひとつです。 （２）摩擦力の場合です。 Ａ、Ｂが一緒に動いている場合に働く摩擦力は静止摩擦力です。最大値があります。ｆの大きさは加速度ａとともに大きくなって行きますからどこかで限界を超えてしまいます。滑るという運動にになります。その場合はｂ＜ａです。 静止摩擦力の最大値は静止摩擦係数から求められます。μｍｇです。 一体で動く条件は ｆ＜μｍｇ Ｆ＜μ(Ｍ＋ｍ)ｇ です。＝のときの力の大きさが境界値です。 この境界を超えた力がかかっているとＢはＡの上で滑ります。 Ａ、Ｂの間に働く力ｆは運動摩擦力になります。 Ｆ－ｆ＝Ｍａ ｆ＝ｍｂ ｆ＝μ’ｍｇ です。 ａ＝(Ｆ－μ’ｍｇ)/Ｍ ｂ＝μ’ｇ ａ＞ｂであることを確めることも出来ます。 Ｆ＞μ(Ｍ＋ｍ)ｇ でしたから μ＞μ’であることを使うと ａ＞μｇ＋(ｍ/Ｍ)(μ-μ’)ｇ＞μ’ｇ＝ｂ です。
