Gaussian x Gaussian

質問

いつもお世話になっています。

ガウシアン分布の処理について質問させてください。

ある広がりを持った無相関な二つの正規分布があるとして、それぞれの中心地が離れているものの、お互いの裾野同士は重なっています。
例えばその重なりが1%程度の領域同士であった時、
その二つの事象が同時に起こる確率とは、
10^-2　x　10^-2　=　10^-4　？　それとも
SQRT(10^-4 + 10^-4) = 1. 4x10^-2 ?

さらに具体的な適用例を示すと、
D-FlipFlopの入力Dataは既知のランダムにばらつく成分を持っているのですが、
入力クロックもまた既知のランダムなばらつき成分を持っています。
クロックの立ち上がりがDataのちょうどど真ん中をたたくとして、
結果出力されるDataのBit Error Rateはどう計算するのだろう。。
というのがこの質問のそもそもの発端です。

よろしくお願いできればと思っております。

回答No.3

rabbit_cat · ベストアンサー

データとクロックがともにランダムジッタを持つ場合に、ＢＥＲを計算したいってことですかね。

＞その二つの事象が同時に起こる確率とは、
＞10^-2　x　10^-2　=　10^-4　？　それとも
＞SQRT(10^-4 + 10^-4) = 1. 4x10^-2 ?
厳密には、どちらも違います。
しかし、重なりがすごく小さい場合には、10^-2　x　10^-2　という計算（前者）で近似しても、それほど大きな誤差はでないでしょう。

厳密な計算は、
とりあえずデタミニスティックジッタはなしとして、データとクロックのエッジの中心（分布の中心）は、厳密に0.5UI ずれている場合を考えると、データのジッタＸのＲＭＳがσ1 (UI)で、クロックのジッタＹのＲＭＳがσ2（UI）であれば、
X～N(0, σ1^2)
Y～N(1/2, σ2^2)
です。
BER = P(X>Y) = P(X-Y>0)
ですが、
X-Y ～ N(-1/2, σ1^2＋σ2^2)
ですので、
BER = P(X>Y) = P(X-Y>0)
= P(Z > 1/(2√σ1^2＋σ2^2))
です。ただし、Zは、標準正規分泌N(0,1)に従う確率変数

To ＃２の方へ
＞そのＭ字曲線の縦軸が表すのは、何が起こる確率なのでしょう？
通信（とくにワイヤライン通信）の世界だと、バスタブカーブといってよく使われる表示です。
横軸は時間です。縦軸は確率ではなくて、データとクロックのエッジの時刻の累積確率分布関数を表わしています。
Ｍ字といっていますが、実際には１つの曲線ではなくて、データとクロックのエッジ時刻それぞれについての累積分布関数の２つのグラフを重ね書きしたものです。
で、データのエッジがクロックのエッジよりも後にくると、エラーが起こってしまうということです。

お礼

当方の稚拙な説明にフォローいただき誠に感謝です。
まさにお答えいただいた事象についての質問でした。

これ例えば、σ1=0.1UI、σ2=0.05UIであった場合、
1/(2√σ1^2＋σ2^2)=4.88であり、
結局求めたいBERとは、
確率密度関数Pを4.88<Z<∞までで求める、
ということですよね？
お手数ですが、確認いただけますと幸いです。

回答No.4

arrysthmia

ああ…
横軸は入力レベルじゃないんですか。
それは、読めなかった。

お礼

稚拙な説明、恐縮でした。
また、よろしくお願いいたします。

回答No.2

arrysthmia

依然として、何がしたいのか
よくわかりません。
そのＭ字曲線の縦軸が表すのは、
何が起こる確率なのでしょう？

横軸の値がフリップフロップに入力される
確率でしょうか？
だとすれば、フリップフロップ側で
入力された値を Hi と Lo に
どうやって振り分けるのか
を定義しないと、
質問の確率は決まりません。
例えば、Hi の平均値が 5v,
Lo の平均値が 0v だったら、
入力が 3v のとき、Hi と判定するのか
Lo と判定するのか。

それとも、横軸の値が入力されたときに、
Hi は Hi, Lo は Lo と
正しく判定される確率でしょうか？
そうであれば、「1％の重なり」により、
最初から、答えを
Hi を Lo と誤認する確率 1％、
Lo を Hi と誤認する確率 1％と
定義して話を始めたことになります。

回答No.1

arrysthmia

「重なりが1％程度の領域」とは？
ガウス分布は台が有限ではありませんから、
裾野は実数全域で重なっています。
状況が不明です。

後半の考察ですが、それだと
二つの確率変数が、ガウス分布ではなく
Hi or Lo の二値分布に従うものとして
扱っているように見えます。
そういう問題設定ですか？

お礼

回答ありがとうございます。

”重なりが1%程度の領域"とは、ある正規分布の右裾野端1%の部分(中心地から99%カバーする領域外の部位)と、中心地のことなるある正規分布の左裾野1%が重なっているとすると、アルファベットのM字型になるような重なりの領域を指していました。
”バスタブカーブ”とも言われることがあるカーブの底の部分です。

後半部分は、
出力は2値分布だと思います。
ガウス分布をもつのは入力のクロックとデータです。
つまり、入力データ・クロックそれぞれがバスタブカーブを形成し(つまりDeteminisiticな部分とRandomな成分がある。)、例えば理想的にはHを出力するはずなのに、
たまーにLを出力してしまう確率って、入力のクロック・データのばらつき具合から推測できないものか、という趣旨です。