互いに素とそうでない条件

質問

大きな正の整数ｘ、ｙについて、
(1)　ｘとｙは互いに素
(2)　ｘとｙ－１、ｘとｙ＋１は互いに素でない
この二つの条件（個別に見れば３つ）を満たすことを、式で表せますか？
１０と1７とか条件は満たすのですが
さらに、
(3)　ｘ－１とｙ、ｘ＋１とｙは互いに素でない
という条件も加えたとき、(1)(2)(3)を満たすｘ、ｙってあるんでしょうか？

回答No.3

f272 · ベストアンサー

両方とも奇数だとx=21，y=55かな。

お礼

すごい！あるんですね。
どうやって見つけたんでしょうか・・・。
他にもあるんでしょうか？

回答No.4

f272

多分，加算無限大個だけある。
両方とも奇数で1000未満の組は
(x,y)=(21,55),(99,175),(115,551),(369,575),(495,589),(475,609),(195,679),(259,741),(265,741),(225,791),(375,799),(741,805),(741,875),(649,945),(323,987),(377,987),(399,995)
でもこれらの組がどんな風に一般化できるのかはよくわからない。

偶数xと奇数yの組なら
偶数をxとすると，x-1とx+1のそれぞれの素因数，及びそれ以外の素数を掛けたものをyとすればよい。
例：x=8ならばx-1=7とx+1=9の素因数3を使ってy=21,63,105,147,...

お礼

回答ありがとうございました。
へーです。
すごいですね！

回答No.2

f272

最初の方はよくわからないが，x=4，y=15であれば条件(1)(2)(3)を満たします。

お礼

回答いただけてありがとうございます。
ｘ、ｙのうちどちらか偶数だと小さい組であるんですね。すごいです。
無意識にｘ、ｙともに奇数で考えていました。
この場合でもわかりますか？

回答No.1

asuncion

＞大きな正の整数ｘ、ｙ
大きな、の定義は何ですか？

xが偶数のとき
任意の奇整数yを考えると、
xとyは互いに素である（∵xは2という約数を持つが、yは持たない）。
yは奇数であるからy - 1, y + 1はともに偶数であり、
xとy - 1は互いに素でなく（∵少なくとも2という公約数を持つ）、
かつ、xとy + 1は互いに素でない（∵少なくとも2という公約数を持つ）。