素数分布に従う数列

質問

素数の分布は、x/log(x)に従うようですね。でも、素数以外でも、この分布に従う数列はあると思います。

そこで考えたのですが、素数を知らない宇宙人が、このx/log(x)という分布だけを与えられたときに、われわれ地球人にも理解できる簡単な生成規則によって、この分布に従う数列を作ることはできるのでしょうか。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

「x 以下の素数の個数」を π(x) とすると, 素数定理から
π(x)/x ～ 1/log x
です.
つまり「3 以上の整数 n を確率 1/log n で選択する」だけで, 確率 1 でこの分布に従う列が得られるはず.
もっといえば (以下 [x] はガウス記号として)
・1 から [e] まではすべて選ぶ
・[e] から [e^2] までは 1つおきに選ぶ
・[e^2] から [e^3] までは 2つおきに選ぶ
(以下同様)
とすれば, ちょっと補正が必要かもしれないけど本質的にその分布に従う列になるはず.

お礼

早速、ありがとうございます。
具体的に並べてみると、次のようになりますかね。（e ≒ 2.7）

1 2 4 6 9 12 15 18 22 26 30 34 38 42 46 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100

１００以下の個数が２６個なので、確かに、素数の場合と似ていますね。