三角関数の問題です。

質問

質問をさせていただきます。

二次元平面上に△ABCがあり、頂点の座標はそれぞれ
(Ax,Ay)、(Bx,By)、(Cx,Cy)となっています。
また辺ACと辺BCの長さは等しく、二等辺三角形となっています。

（∠ACBの角度×１／４）の正接の値をTとした場合、
Cx、Cyの値をそれぞれ求めたいのですが、
どのようにすればよいでしょうか。
（ちなみに全ての辺は、X軸やY軸に必ず平行というわけではありません）

Cx=～、Cy=～

といった形でご回答頂けると幸いです。
よろしくお願いいたします。

回答No.5

arrysthmia · ベストアンサー

←No.4 補足

あとは、
↑n = ± ↑N / | ↑N | の符号を選択すれば
完了かと思います。

回答No.4

arrysthmia

←No.3 補足

MC = QA (1 + cosθ) の右辺は、(QA の長さ)×(1 + cosθ) です。
△AQM で考えて、QM = QA × cosθ から、こうなります。
CQ = QA の理由は、解りますね？

AB 方向のベクトルのひとつが、↑AB = (Bx - Ax, By - Ay)。
これに直交するベクトルのひとつが、↑N = (Ay - By, Bx - Ax)。
(x, y) と (-y, x) が直交しますからね。
↑N の長さが | ↑N | = √{ (Ay - By)^2 + (Bx - Ax)^2 } である
ことから、↑N 方向の単位ベクトル(AB の単位法線ベクトル)は、
↑n = ± ↑N / | ↑N | です。
符号は、３点 A,B,C の位置が右回りか左回りかを見定めて、
↑n が ↑MC 側を向くように決めます。

三角関数の公式は、流石に、本で見つけたほうが良いでしょう。
他にもありますから、必ず、教科書を復習しておくこと。
とりあえず、
sin(2x) = 2 (tan x) / { 1 + (tan x)^2 },
cos(2x) = { 1 - (tan x)^2 } / { 1 + (tan x)^2 },
tan(2x) = 2 (tan x) / { 1 - (tan x)^2 }.
です。
x = θ/2 と x = θ/4 で２回、これらの公式を使えば、
sinθ と cosθ が tan(θ/4) の式で表せます。

補足

一晩、一生懸命考えてみました。
こうでしょうか？＞＜

∠ACBの角度をθ,△ABCの外接円の中心点をQとすると、
QA=(AB/2)/sinθとなる。また、ABの中点をMとすると、
MC=QA+QM=QA(1+cosθ)が得られる。

点Mの点Aに対する位置ベクトル↑M=(↑AB)/2=[(Bx-Ax)/2,(By-Ay)/2]となる。
また、↑ABに直交するベクトル↑N=[Ay-By,Bx-Ax]となり、
↑Nの長さ=√{(Ay-By)^2+(Bx-Ax)^2}より、
↑ABの単位法線ベクトル↑n=±↑N/|↑N|となる。

与えられた公式「↑C=↑M+(MC)↑n」を展開すると
[Cx,Cy]=[(Bx-Ax)/2,(By-Ay)/2}]+((AB/2)(1+cosθ))/(sinθ)*(+-[Ay-By,Bx-Ax]/|[Ay-By,Bx-Ax]|)

Cx=(Bx-Ax)/2+((AB/2)(1+cosθ))/(sinθ)*(+-(Ay-By)/|Ay-By|)
Cy=(By-Ay)/2+((AB/2)(1+cosθ))/(sinθ)*(+-(Bx-Ax)/|Bx-Ax|)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　・・・・・・・(A)

倍角の公式において角度をαとし、それぞれをtanαを用いて表すと、
sin(2α)=2tanα/(1+(tanα)^2)
cos(2α)=(1-(tanα)^2)/(1+(tanα)^2)
tan(2α)=2tanα/(1-(tanα)^2)
ここで α=(θ/2)の場合、
sin(2*(θ/2))=sinθ=(2*tan(θ/2))/(1+(tan(θ/2))^2)
cos(2*(θ/2))=cosθ=(1-(tan(θ/2))^2)/(1+(tan(θ/2))^2)
また、α=(θ/4) の場合、Τ=tan(θ/4) を用いると、
tan(2*(θ/4))=tan(θ/2)=2Τ/(1-Τ^2)
これにより、sinθ、cosθはそれぞれ
sinθ=(2(2Τ/(1-Τ^2)))/(1+(2Τ/(1-Τ^2))^2)
cosθ=(1-(2Τ/(1-Τ^2))^2)/(1+(2Τ/(1-Τ^2))^2)

(A)より、

Cx=(Bx-Ax)/2+((AB/2)(1+(1-(2Τ/(1-Τ^2))^2)/(1+(2Τ/(1-Τ^2))^2)))/((2(2Τ/(1-Τ^2)))/(1+(2Τ/(1-Τ^2))^2))*(+-(Ay-By)/|Ay-By|)

Cy=(By-Ay)/2+((AB/2)(1+(1-(2Τ/(1-Τ^2))^2)/(1+(2Τ/(1-Τ^2))^2)))/((2(2Τ/(1-Τ^2)))/(1+(2Τ/(1-Τ^2))^2))*(+-(Bx-Ax)/|Bx-Ax|)

回答No.3

arrysthmia

固定した弦 AB を定角 θ で見込む点 C
（ただし、tan(θ/4) = T ）の軌跡は…
円周角の定理ですね。

この円と、AB の垂直二等分線（ AC = BC ）
の交点を求めれば、点 C が得られます。

△ABC の外心を Q、辺 AB の中点を M と置いて、
図を書いて考えると…

∠AQM = (∠AQB)/2 = ∠ACB = θ より、
QA = (AB/2) / sinθ.　これが、外接円半径。

３点 C,Q,M は一直線上にあって、
MC = QA + QM = QA (1 + cosθ).

後は、点 M の位置ベクトル ↑M と
AB の単位法線ベクトル ↑n を求めて、
↑C = ↑M + (MC) ↑n　とすればよい。

θ を、代入消去すれば終わりです。
sinθ, cosθ を T で表すときに、
三角関数の倍角公式を使いますね。

補足

ご回答ありがとうございます。図を描いて
一行一行確認しながら試させていただきました。
14行目まで完全に理解することが出来ました。

15行目「QA (1 + cosθ).」の部分ですが、
QMの長さを（1+cosθ）とし、「QA+(1+cosθ)」ということでしょうか？

また、単位法線ベクトルや倍角公式を調べてみましたが、
恥ずかしながら、具体的にどのようにすれば
良いか分かりませんでした。お教え頂けたら幸いです。

回答No.2

Willyt

質問の内容が不完全です。点Ａ、Ｂの座標値が既知であり、∠ACBを与えられたときのＣ点の座標を求めたいのですよね。そうすると、求めるＣの座標値は無限にあります。何故なら、任意の点ＡＢを図上にプロットして下さい。ＢからＡＢの垂線を立て、与えられた∠ACBに等しい角度だけこの垂線との角度を持つ直線を描き、これを平行に動かしてＡ点を通るようにします。そのとき、立てた垂線とこの直線が交わる点をＣとすればこれは問題の要求を完全に満たしていますね。
　ところが、このＡＣを直径とする円を描くと、Ｃ点をこの円周上をＡまたはＢを超えないで移動する限り、どこへ持って来ても∠ACBの大きさは変わりません。つまり解が無限にあるということになります。貴方が解こうとしている問題はもう一つ条件が必要なのです。

補足

点A(Ax,Ay)、点B(Bx,By)の座標値に加え、tan(∠ACB/4)の値が既知となっております。

補足として申し上げますと、数学の問題においてではなく、
コンピュータプログラム上での座標データ変換の話となります。

あるCADソフトで利用されるデータでは、平面上の円弧を表すために
「始点座標」「終点座標」「中心角÷４の正接値」の
３つを保持しています。

一般的な円弧を表す為の要素は、
「円の中心点座標」「開始角度」「終了角度」「円の半径」の
４つが必要なのですが、より少ない項目数で円弧を表現する為に
前者の「中心角÷４の正接値」という係数値を用いているようです。
このデータでは、係数値のことを「膨らみ」と呼称しています。

円弧は「向かって反時計回りに始点→終点を取る」という取り決めがある為、
解である中心点座標を、必ず1個に特定する事が出来るみたいです。
（中心角を４で割ったものを係数とするのは、角度を単位円中の
第一象限に限定させる為と思われます。）

ちなみに、膨らみ＝０の時は、始点から終点まで一直線になり、
膨らみ＝１または－１を取る時、中心点は始点終点の線分の中点と一致し、
描かれる円弧は半円となります。

この「始点」「終点」「膨らみ」を持つデータから、
中心点座標を得る必要があった為、今回質問させていただきました。

回答No.1

rnakamra

ベクトルを使用して計算しましょう。

AからBへのベクトルをAB→と表すことにします。
まず、△CABがCA=CBの二等辺三角形であることから
(CA→ + CB→)とAB→が直交します。(なぜかは自分で考えること)
ですから
(CA→ + CB→)・AB→=0 (・は内積を表す。) (1)
次に、∠ACB=θとすると
cosθ=(CA→)・(CB→)/(|CA||CB|) (2)
が成り立ちます。

cosθをT=tan(θ/4)で表すためには、tanの倍角の公式でtan(θ/2)を表し、さらにcos(θ/2)をTで表し、さらにcosの倍角の公式を使いcosθをTで表します。
このようにして得られたcosθをTで表した式を(2)に代入します。
後は(1),(2)を成分で表示すれば連立方程式が得られるのでそれを解けばよい。

これ以上は私も計算していません。
がんばってください。

補足

早速のご回答ありがとうございます。
「(CA→ + CB→)とAB→が直交」するのは、点AとABの中点を通る線は、
二等辺三角形であるので必ずABと垂直に交わると考えました。
（文章にしてみると、おっしゃってる内容とほとんど変わりませんが。。。）

恥ずかしながら、(1)以降の部分が分かりませんでした。