No.1の言われているように、物理のいろいろなところに出てきます。
（例１）
もっとも簡単なものは、「２点で支えたひも」や「２鉄塔間の高圧電線」の形は「懸垂線（カテナリー）」と言ってCoshで
表せる。
（例２）微分方程式
d^2y/dx^2=-k^2yの解はCos(kx),Sin(kx)ですが、
d^2y/dx^2=+k^2yの解はCosh(kx),Sinh(kx)です。両者はラプラスの方程式の解と関係があります。
(例３）特殊相対論
普通の２次元ｘ－ｙ座標の原点についての回転では、座標変換は
x'= cosθ.x + sinθ.y
y'=-sinθ.x + cosθ.y
のようになりますが、特殊相対論におけるローレンツ変換は、
２つの慣性系の（ｘ軸方向の）相対速度をｖとして
tanhθ= v/c
とおけば、(cは光速）
つぎの２式（＊）のようになります。
x' = coshθ.x + sinhθ.ct
ct'= sinhθ.x + coshθ.ct ...（＊）
これが普通のローレンツ変換と同じであることをみるには、
双線形関数で基本的な関係 coshθ^2 - sinhθ^2 =1を使って、
（両辺をcosh^2(θ)で割ったもの： 1-tanh^2(θ)=1/cosh^2(θ)をつかって、）
coshθ = 1/√{1-tanh^2(θ)} = 1/√{1-(v/c)^2}
sinhθ = tanh(θ)/ √{1-tanh^2(θ)} = (v/c)/√{1-(v/c)^2}
これらを（＊）に代入して、
x' = 1/√{1-(v/c)^2}.x + (v/c)/√{1-(v/c)^2}.ct
=(x+vt)/√{1-(v/c)^2}
ct'= (v/c)/√{1-(v/c)^2}.x + 1/√{1-(v/c)^2}.ct
= {(v/c)x+ct}/√{1-(v/c)^2}
（あるいは両辺をｃで割って）
t' = {(v/c^2)x+t}/√{1-(v/c)^2}
すなわち、普通のローレンツ変換
x' = (x+vt)/√{1-(v/c)^2}
t' = {(v/c^2)x+t}/√{1-(v/c)^2}
となります。
双線形関数は三角関数との関係も含めて大変有用です。
