ベクトルの計算方法
一辺の長さ２の正四面体OABCにおいて、OA上に点Pを、内積（OA→、PB→）＝１となるようにとり、次に点CからPBへ引いた垂線の足をQとする。
PQ;PBを求めよ。
解答
OA=a→、OB→＝b→、OC→＝C→とする。さらに、
OP→＝ｋOA→＝Ka→
とすると、PB→＝PO→＋OB→＝－Kａ＋ｂよって
（ＯＡ→、ＰＢ→）＝１から
（a→,-ka→＋b→） = -k(a→,a→)+(a→,b→)=１ ..... (A)
さらに、ＰＱ→＝ｌＰＢ→＝ｌ（－ka+b→）とすると
CQ→＝CO→＋OP→+PQ→
＝-c→+ka→+l(-ka→+b→)=k(１-ｌ)a→+lb→-c→であり
これがＰＢ→と垂直であるから、内積は０である。
よって（ｋ（１－ｌ）a→+lb→-c→、－ka→+b→)=0
∴-k＾2(1-l)(a→,a→)+k(1-2l)(a→,b→）+l(b→,b→）
+K(a→,c→）-(b→,c→）=0 ........(B)
ところが、一辺の長さが２で、a→とｂ→、ｂ→とｃ→、ｃ→とa→のなす角がすべて６０°であるから、
(a.a)=(b,b)=4, (a,b)=|a||b|cos60°=2
同様に（b.c)=(a,c)=2 これらを(A),(B)に代入して
-4k+2=1 , -4k＾2(1-l)+2k(1-2l)+4l+2k-2=0
∴k=1/4 , l=5/13, ∴ PQ;PB =l:1=5:13 （答）
質問１：求め方の意味はわかったのですが、計算ができませんでした。
(a、-ka+b)=1 という計算がどうして -k(a.a)+(a.b)=1 となったのでしょうか？ (a,-ka+b) これらを互いに掛けたのではなくて、
a・a＋-ka+b・-ka+b としたのでしょうか？すみません基本なところで＞＿＜
質問２：最後のほうえ、(b.c)=(a.c)=2これらを(A),(B)に代入してとありますが、(B)はｂ、ｃ、a.cがあるので、代入は簡単なのですが、
どうように（Ａ）に代入したくても、（Ａ）は -k(a.a)+(a.b)=1と
もじが (b.c)＝(a.c)ではないので、代入できなさそうなのですが？？
（Ｂ）に代入して得たＫを（Ａ）に代入ってことでしょうか？？
＞＿＜
お礼
さっそくの回答ありがとうございます。 分かりやすいので、完全に理解できました。 レポート提出が近いので、本当に助かりました。