次の数学の問題が分かりません。

質問

どなたか分かりやすく解説してくれませんか。

f(n)は f(n)→l (n→∞)
となっているとする。このf(n)に対して、級数
∑(n＝1～∞)
n^{－f(n)}

はl＞1のときは収束し、l＜1のときは発散することを証明せよ。

よろしくお願いします。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

#1のものです。
#1は間違っていました。これははさみうちにした場合、収束値が同一ではないためいけません。

上限だけを考えて、それが収束することから和に上限があることを示し、上に有界な単調増加級数は収束するという定理から収束することを示せます。

回答No.1

rnakamra

Σ(n=1～∞)n^kがk<-1では収束し、k>-1(実際はk=-1でも)発散することは既知とします。

l>1の時、ε=(l-1)/2>0とします。
収束の定義から、n>Nとなるn全てで|f(-n)-l|<ε　となるNが存在します。
このとき、n>Nでは次の関係が成り立ちます。
n^(-l-ε)<n^{-f(n)}<n^(-l+ε)
ε=(l-1)/2を代入すると
n^{(-3l+1)/2}<n^{-f(n)}<n^{(-l-1)/2}
これから、次のことが言えます。

N1>Nとして
Σ(n=1～N-1)n^{-f(n)}+Σ(n=N～N1)n^{(-3l+1)/2}<Σ(n=1～N1)n^{-f(n)}<Σ(n=1～N-1)n^{-f(n)}+Σ(n=N～N1)n^{(-l-1)/2}

(-3l+1)/2<-1,(-l-1)/2<-1は明らかであるから、N1→∞で上限、下限ともに収束します。よってはさみうちの定理により求める和は収束します。

l<1の場合は、下限をε=(l-1)/2として、和の下限を評価しそれが発散することを示せばよいでしょう。