[修正版]回答のための思考方法をご指導下さい

質問

昨日、間違って記憶していた問題文を載せて、指導を仰いだものです。
　http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4902564.html
改めて、問題文と自分の出した答え（再度考えました）と考え方を書きましたので、論理的な答えの導き方を再度ご指導下さい。

修正した問題文
≪Ａ≫は、自然数Ａの正の約数の数を求めると言う意味の記号です。
≪６≫であれば、正の約数は｛1，2，3，6｝の4つなので、≪６≫＝４となります。
では、≪Ａ≫＝３と≪Ａ＋１≫＝４が共に成立する、最も小さな２桁の整数Ａを求めなさい。

私の答え　２５

私の思考ステップ
1）　Ａは２桁なので、Ａ＜１００　である。
2）　≪Ａ≫＝３だから、≪Ａ≫＝｛１，Ｂ，Ａ｝＝３
　　≪Ａ＋１≫＝4だから、≪Ａ＋１≫＝｛１，Ｙ，Ｚ，Ａ＋１｝＝４
3）　ＡとＢの関係を考えた場合、ＡはＢの倍数でなければ、約数の数は３個にならない。
　なぜならば、この仮定を否定した場合、
　　１×Ｂ＝Ａ　が成立する場合→Ｂ＝Ａなので、約数は２個となる
　　１×Ｂ≠Ａ　が成立する場合→別の約数Ｃが存在する事となる
4）　３の考えを進めると、Ａ＝Ｂ＾2　でないと、別の約数Ｃを要求される。更に、Ｂは素数でなければならない。
5）　Ａ＜１００である事から、Ｂは１０未満の素数であり、その二乗値は２桁の整数である。
6）　すると、Ｂは5か7になる。［Ａは25か49］
7）　問題文では最も小さい値を要求しているので、まずはＢ＝５で考えてみると、成立した。
　　　≪25≫＝｛1，5，25｝＝３
　　　≪26≫＝｛1，2，13，26｝＝４

回答No.2

info22 · ベストアンサー

前の質問で
答はA=25のみ
と解答したものでこの最後の2式を書いた者です。

１）は前にも書いたとおり
Aは2桁の正整数であるから
10≦A＜100　を満たす。…（I)

２）前に書いたとおり
<<A>>＝３を満たすAは
A=p^2 (pは素数)を満たす。…(II)

===説明===
これはAが2つ以上の素数の積を約数として持つと仮定すると
A=pqB(p,qは互いに素の素数、Bは正整数)の形に書けるので
<<A>>={1,p,q,...,A}≧4　…(◆)
となって除外される。
Aが１つの素数だと仮定すると
A=p(pは素数）と書けるので
<<A>>={1,p}=2 となって除外される。
あとは
A=p^n (pは素数、nは自然数)の形しか残されていない。
この場合
<<A>>={1,p, ... ,p^n}=n+1
となるので<<A>>=3を満たすのは n=2の場合のみとなる。
======ここまで=======

また
<<A+1>>＝4を満たす(A+1)は
(◆)に書いたの式で
A+1=qr（qとrは互いに素な素数）を満たす。…（III）
この時<<A+1>>={1,q,r,qr}=4となります。

以上の（I），(II)，(III）を満たすAを求めればいいわけだが、
求める手順の考え方は(I)と(II)を満たす素数pを絞り込んで
10≦p^2＜100 から
p=5,7
に絞り込んで（III）を満たすものを求めればよい、
A=5^2=25の場合 <<A+1>>=<<26>>=<<2*13>>で(III)を満たす。
A=7^2=49の場合 <<A+1>>=<<50>>=<<2*5*5>>で(III)を満たさない。

よってA=25(これのみ)

といった解の導き方となるでしょうね。

お礼

間違った問題を書いた私に怒りもせず、２日間に亙るご指導を賜り、感謝しております。
更に、私の書いたレベルに合わせた解説まで付けていただき、重ねてお礼申し上げます。

これからも色々とご迷惑な質問を載せるかもしれませんが、その際にはよろしくお願い申し上げます。

回答No.1

funoe

あってますけど、格好悪いですね。
たとえば、１）の主張は2)~4)の主張に無関係なので、不要ですよね。
たとえば、２）の後半の主張（≪Ａ＋１≫＝4だから・・・）も不要ですよね。
たとえば、４）の主張はご自身でお気づきのとおり「省略しすぎ」ですよね。
だから「この考えを進めると」とか、「更に」という表現になっちゃうんですよね。

約数の個数に関する有名な定理をご紹介しましょう。
Ｎを自然数として、Ｎを素因数分解したとき
Ｎ＝p1^a1×p2^a2×p3^a3×・・・×Pn^an
のとき、Ｎの約数の個数は、(a1+1)(a2+1)(a3+1)・・・(an+1)個です。
具体的に例示すると
60=2^2 × 3^1 × 5^1　なので、約数の個数は(2+1)(1+1)(1+1)=12個となります。

このことと、約数の個数が３であることから
Nの素因数分解は、N=p^2　（pは素数）しかありません。
Ｎが2桁であることからｐの候補は５か７。
以下は「試して確認」というので適切ですね。

お礼

添削の上、定理も記載戴き、ありがとう御座いました。

> あってますけど、格好悪いですね。
昔から、図形と証明（手順の考え方）の問題は不得手なので、どうしても思考ステップが荒くなってしまいまして・・お恥ずかしい限りです。