フィックの第2法則のラプラス変換による解の求め方
1次元で、半無限方向に食塩が拡散する現象を考え、時間t、位置x、濃度Ｃ、拡散係数Dとして、フィックの第2法則
∂Ｃ/∂t＝D×∂^2Ｃ/∂x^2
を解く問題です。
食塩部分は常に濃度Ｃs、無限遠方では濃度は０であることから、
初期条件、
Ｃ(x,0)＝Ｃ∞＝0
境界条件、
Ｃ(0,t)＝Ｃs
Ｃ(∞,t)＝Ｃ∞＝０
です。
課題の解法では、ここでθ＝Ｃ-Ｃ∞とおき、拡散方程式を、
∂θ/∂t＝D×∂^2θ/∂x^2
と変形し、初期条件、
θ(x,0)＝0
境界条件、
θ(0,t)＝Ｃs
θ(∞,t)＝0
としています。ここでラプラス変換を行い、
∞
∫ e^-pt×θ(x,t)dt＝Θ(x,p)
0
とし、拡散方程式を変換するのですが、左辺はpΘ(x,p)になるのは分かったのですが、右辺の変換の仕方がわかりません。ヒントによると、
∞
D×∂^2/∂x^2∫□dt＝□
0
になるそうですが、□に入る式が分かりません。お願いします。
お礼
なるほど！！ フィックの法則の一般形を用いればいいんですね。 参考URLも利用させて頂きます。ありがとうございました。