剰余項の収束について

質問

sinxをマクローリン展開したときの剰余項
R[n]={{f（c）}~(n)/n!}*x^n
={sin（c+nπ/2）/n!}*x^n
が、n→∞としたときに0に収束することを示したいです。
-1≦sin（c+nπ/2）≦1 だから、sin（c+nπ/2）は、極限に大きな影響は与えないことがわかります。
少ない脳みそで考えてみましたが、その後どうやっていいのかさっぱりわかりません＾＾；
すみませんが教えてください。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

m>|x|となる正の整数mを選びます。
n>>mであるとして、
n!=1*2*・・・*(m-1)*m*(m+1)*・・・*n>m!*m^(n-m+1)
となります。
よって、
0 <= |x^n/n!| < |x^n/{m!*m^(n-m+1)}| = |x^m/m! * (x/m)^(n-m+1)}|
となります。
x^m/m!は有限の定数であり、|x/m|<1であることから上式の右辺はn→∞で
"0"に収束します。
x^n/n!は0に絶対収束します。

お礼

どうもありがとうございます。
理解することができました。
補足のほうも助かりました。

回答No.2

rnakamra

#1の回答者です。

式が間違えていましたので修正を。
m!となっているところはすべて(m-1)!です。

後は、|sinα|<=1であることから0 <= |R[n]| =< |x^n/n!|
として極限をとればOK