微分可能について

質問

「何回も微分可能」ということと、「連続する微分係数を有する」ということは同じですか？

もし、違うのであれば、違いを教えて下さい。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

違います。

「連続する微分係数を有する」という言い方は、あまりポピュラーではないですが、
それは、全区間あるいは指定された一部の区間について、微分係数が連続であるということです。
言い換えれば、少なくとも１回は（その区間について）微分可能であるということです。

一方、「何回も微分可能」というのは、
何度微分しても、全区間あるいは指定された一部の区間について、さらに微分可能であるということです。
つまり、２回目以降の微分についても言っています。

ご参考になりましたら幸いです。

回答No.2

arrysthmia

「何回も微分可能」であることを、「滑らか」とか「Ｃ^∞級」とか、
「連続する微分係数を有する」ことを、「Ｃ^1級」とか言いますね。
「少なくとも１回は微分可能である」ことを「Ｄ^1級」とも。

関数がＣ^∞級であれば、Ｃ^1級でもあり、
Ｃ^1級であれば、Ｄ^1級でもありますが、
逆は言えません。

実数全域でＣ^1級だが、Ｃ^∞級ではない関数の例： | x^3 |
実数全域でＤ^1級だが、Ｃ^1級ではない関数の例： (x^2) sin(1/x)