４×４正方行列の固有ベクトル

質問

００１１
００１１
１１００
１１００　の固有値を計算すると　０（重解）、２、－２　となって

０のとき

１１１１
００１１
００００
００００　と階段行列に行基本変形しました。

このとき　ｘ＝c1（1,－1,0,0）＋c2（0,0,1,－1）
としたのですが、解答は

　　　　　ｘ＝c1（1,－1,－1,1）＋c2（1,－1,1,－1）

となってました。私の解答はだめですか？

回答No.2

e_o_m · ベストアンサー

＞また、それならば「Ｐを求めよ」という問題に対しては、考えられる基底それぞれのＰを計算してすべて決定しなければ、完全な解答とはならないということでしょうか？

固有ベクトルの作り方によってPは色々と変わってきます。
ですので、唯単に「行列Aを対角化する行列Pを求めろ」と言われた場合は無数の解答が存在することになるので、どれか一つを求めるだけで大丈夫です。

ただ、Aがエルミート行列（あるいは対称行列）で、それを対角化するユニタリ行列（あるいは直交行列）Pを求めろとされたときは少し注意が必要です。
Aの固有値がすべて異なるなら、Pは固有ベクトルの並べ方を覗けば唯一つに決まってしまいますので、あまりに答えとかけ離れていたら計算が間違っているのでしょう。

答えにないPが出てきた時、それが正しいPであるか検算する方法があります。

異なる固有値に属する固有ベクトルはすべて直交するので、求まった固有ベクトルの内積をそれぞれ計算してみましょう。固有値が異なるのに内積が０とならなかったら、そのPは間違いです。
また同じ固有値に属する固有ベクトルでもシュミットの直交化法をした後ならば直交していなければいけないので、同じく内積をとって０になることを確認しましょう。
また直交行列を求めろと言われたときは、各固有ベクトルは規格化されていなければならないので、ノルムが1になることも併せて確認しましょう。
あとは固有値をP1としたら、実際にAP1=αP1と正しい固有値が出ることも確認出来るはずです。

このようにPは色々と検算する方法があるので、心配になったら検算してみましょう。
上記の事が確かめられたら正しいPが得られているはずですので心配する必要はありません。

お礼

すべての謎が解けました（笑）
おかげさまで自信を持って問題が解けそうですｅ_ｏ_ｍさん
ありがとうございました。。

回答No.1

e_o_m

ただ単に基底の取り方が違うだけです。

c2=c1とすれば
c1(1,-1,1,-1)
というベクトルが
c2=-c1とすれば
c1(1,-1,-1,1)
というベクトルが得られることから、貴方が出した答えはあっているとわかると思います。

補足

ありがとうございます。でも、わからないのはこのあとグラムシュミットの直交化法をやって正規直交系を作るとき

　Ｐ-1・Ａ・Ｐ＝直交行列

のＰが違うものになってしまいます。このように基底の取り方の違で、Ｐはいろいろできても全部正しいといえるのでしょうか？
　また、それならば「Ｐを求めよ」という問題に対しては、考えられる基底それぞれのＰを計算してすべて決定しなければ、完全な解答とはならないということでしょうか？

　このような問題の解答はいつもＰは１通りになっていて、私のたどり着くＰとは違っていることが多いので、どうも落ち着かないものですから。