式Ａは○・式Ｂは×の見極め

質問

問題の解説を読んでいると、「なんでＡの式ならＯＫだってわかるんだろう？もしかしたらＢの式かもしれないのに」「なんでＡの式でなければならないんだろう？だってＢの式も使えるのに」と、感じることが多いです。今回もその問題の一つです。

問
ある人が自転車で16km離れた地点へ時速12kmで行き、直ちに引き返して時速8kmで帰ってきた。往路、復路を通じての平均時速として正しいのどれか（正解:9.6km）

僕の解き方
時間＝距離÷速さだから、
行きにかかった時間…16÷12＝4/3時間
帰りにかかった時間…16÷8＝2時間

速さ＝距離÷時間だから、
行き時の速さ…16÷4/3＝12
帰る時の速さ…16÷2＝8
…って、今気がついたらこれはもう問題文でちゃんと設定されてますね（^^;。ま、それはいいとして、問題はこの次です。

僕はここまで求めたあと、全体の合計÷各数＝平均という公式を使って、12＋8＝20→20÷2＝10　正解は10kmだ、と考えたのです。選択肢にも10kmがあったのでこれであっているのかとばかり思ってました。
…で、結局この解き方と答えは間違っていたわけですが、

質問1:公式にそってたてたのになぜこの式ではダメなのか？
質問2:何をヒントにこの式はダメだということに気付けばよいのか？

です。平均の公式にそっていますし、12と8は問題文によってはっきり設定されている数字です。つまり、不備がないのです。

なぜ「Ａなら○、Ｂなら×」となるのですか？なぜ「Ｂでもできる。Ａにもおかしなとこはある」とならないのですか？？もうだいぶ勉強しているのに、むしろ勉強をすればするほど新しい可能性が見つかり、余計に「絶対こっちだ！こっちは絶対違う！」という見極めがつけられなくなってしまっている気がします。

回答No.8

yamsaru

あー…これは困るでしょうね。
今回は、hypnosisさんの困惑が理解できます。似たような教え子は多いですから。
『平均時速』の意味を勘違いしておられるのが原因です。
これは、例えば
　　　　「時速３kmと時速５kmの平均はいくら？」
　　　→「３＋５を２で割って、時速４km！」
というような話ではないんですよ。
時速は、そうやって平均をとってはいけないんです。
この発想のマズいところを説明するのに、こんな例はどうでしょうか？

「時速５０kmで走る車がある。ブースターをつけて『ほんの一瞬だけ』
　時速３００kmのスピードを出させた。平均時速はいくらになるか？」
これは５０＋３００を２で割って、時速１７５kmではありません。
なぜって、『ほんの一瞬』しか時速３００kmを出してないからです。
実際には、この車はコースのほとんどを、時速５０kmでトロトロ走っていました。
スピードアップのご利益は無いも同然でしょう。
ずっと時速５０kmだったのとほとんど変わりません。

逆に「時速３００kmで走る車が、一瞬だけトラブルで時速５０kmに落ちた」
としましょう。
これも３００＋５０を２で割って、時速１７５kmとするのは変でしょう？
だって『ほんの一瞬』しかスピードダウンしてないんですよ？
実際は、ずっとコースを時速３００kmで走り続けていたのと大差ありません。
もし、さっきの車とこの車を競争させたら、絶対にこちらが勝ちますよ。
なのに、ほんの一瞬だけの不調で「どっちも平均時速は１７５kmだ」というのは
明らかに不公平ではないですか？
部外者がそれを聞いたら、似たような車かと思うじゃないですか。
ところが、実際には性能は段違い。これじゃ詐欺ですよ。

要はhypnosisさんの計算だと、
「ほんの一瞬でもスピードアップ/ダウンすると、その影響が数値にモロに出てしまう。
　しかも、一瞬で立ち直っても/ずっと立ち直らなくても、結果は同じになってしまう。
　これでは明らかに、現実を適切に表していない」ということです。

そこで『平均時速』とは、
『最終的に、何kmの道のりを何時間かけて行ったのか』という意味なんです。
途中でスピードアップしたり、信号で止まったかもしれない。
でも、そういう途中経過はややこしいから、気にしないことにしよう。
とにかく、スタートからゴールの間に『全体では』何時間かけて何km進んだのか？
これはそういう話なのです。
例えば、家から職場までの道のりを３０kmだとする。そして通勤に２時間かかった。
だったらざっくり計算して、３０÷２＝時速１５kmなんです。
駅で電車を待っていた時間とか、途中のコンビニで待たされたとか、
そういう途中で発生することは一切無視します。
『平均時速』とはそういう意味なのです。
これなら、一瞬のロスは、答えに大きな影響を与えません。

で、なぜhypnosisさんの方法がダメで、これならＯＫと分かるのか…
うーん、「平均」や「時速」の意味を常日頃から考えているから、ですかね。
自分の中で、「あ～なるほど。こういう計算をするのは、考えてみれば当然だなぁ」
という心理になるまで、納得してはいけません。
行けそうだと思っても、あらゆる方向からダメ出しをしてください。
上記のような「一瞬だけ速度の変わる自動車」など、色々な（極端な）例を考えて
おかしなことにならないかをチェックするのです。
その際に、「公式にそっているからＯＫ」というのは、何の役にも立ちません。
あくまで最後にモノを言うのは、本人の『常識力』なのです。

お礼

「今回は、」「教え子に」とあり、おやおや？と思いましたが、
以前にもお話をしたことがあった方でしたか。よーく見てみる
と、従姉妹の解説？も同じ方だったんですね。

＞時速は、そうやって平均をとってはいけないんです。
上にも書きましたが、やはりヒント云々ではなく、前提知識と
して暗記しておけば順調に問題は解けたと、そういうことだっ
たのですね…。ありがとうございました。

回答No.7

arrysthmia

皆様の論調に、気になる点が…

「平均時速」が、速さの算術平均なのか、調和平均なのかは、
用語の定義によって規約された事項であり、どちらが適切か
を考察して結論できるような内容ではありえない。

＞ 何をヒントにこの式はダメだということに気付けばよいのか？

と訊ねている時点で、質問者は、この点を勘違いしており、

＞ むしろ勉強をすればするほど新しい可能性が見つかり

という考えも、その延長上にあると思われる。

何かをヒントに、この式はダメだということに気付くのではなく、
その式は違うということを勉強して知っていなければならないのだ
ということを、単盲象を撫でつつある彼に分かって欲しい
と思う。

お礼

＞その式は違うということを勉強して知っていなければならない

…ということはやはりつまり、今回学ぶべきポイントは、
「式の知識＋この式でなければ×」であり、特に後者が
大事である、ということでしょうか？これを知っていれ
ばヒントがなくても「絶対この公式を使う→だからこの
問題の場合、解き方は…」と先に進めたということなの
ですね。

回答No.6

OKWave_com

ま、要は君の好きな算術平均の他にもいくつかの平均があり、
この平均速度を求めるときに使うべき公式は、調和平均を求める公式だということかな。
この公式はあらかじめ知っておかなくても、既回答者の方々の解き方をすれば自然にこの公式にそった解き方になっているということ。

以下のサイトを見て確認してくれ
http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/mean/harmony2.htm

なお、この問題であれば自転車が走った距離に関係なく同じ答えになるということもご理解いただけると思う。

お礼

ありがとうございました。

回答No.5

kabaokaba

＃３＞
とりあえず質問者の過去の質問をみれば
＃１の回答が納得できます．
まったく進歩がないのです．
公式や言葉の意味を理解しようとせず，
ひたすら表面的な言葉尻だけで考えてるから・・・

「速さの平均」と「平均の速さ」の違いを
理解していないだけです．
これは小学校で習ってるはず．
たとえば
20kmの道のりを最初の10kmを2時間で，次の10kmを5時間で進んだとき
平均の速さと速さの平均はどうなるんでしょうね．

お礼

ありがとうございます。

＞公式や言葉の意味を理解しようとせず，ひたすら表面的な言葉尻だけで考えてるから・・・

kabaokabaさんと僕とは、面識がありましたでしょうか？なんだかこれはとても新鮮な指摘のように思います。しかし、自分ではどのあたりのことを指しているのだろう？と思い当たるフシがないのですが…。

僕はたいていいつも、「これを求めるためにはどの式を使ったらいいかわからない」→「なんでこの式を使えばいいってわかるんだろう？」→「何をヒントにすればいいんだろう？何でどの式を使えばいいか思いつくんだろう？」というあたりで引っかかっています。

＞「速さの平均」と「平均の速さ」の違い
速さの平均→ここでいう速さは、平均でない速さ
平均の速さ→ここでいう速さは、平均の早さ

＞20kmの道のりを最初の10kmを2時間で，次の10kmを5時間で進んだ
最初の速さは5kmで、後の速さは2kmですよねぇ。で、

平均の早さ→20/7…全距離÷全距離を進むのにかかった時間

速さの平均→これはわかりませんでした。上にあった解説によると、時間が違うから2つの速さを足して2で割ってはいけないわけですよねぇ？となると、どんな式を使えばいいんでしょうか？？

補足

読み返していて「あれ？」と思うところがあったのでもう一回書きます。

速さの平均→ここでいう平均は平均そのもの。
平均の速さ→ここでいう速さは、平均そのもの。

…ってことは、同じではないのですか？なんで違うってことになるんですか？何をヒントに違うって見極めればいいんですか？

回答No.4

sanori

お
hypnosisさん
こんばんは！

＞＞＞質問1:公式にそってたてたのになぜこの式ではダメなのか？

時速の公式の使い方は正しいですが、平均時速の公式をご存じないからです。

＞＞＞質問2:何をヒントにこの式はダメだということに気付けばよいのか？

やはり、平均時速の公式の知識です。

平均時速の公式は、
平均時速　＝　全距離　÷　全距離を進むのにかかった時間
です。

＞＞＞行きにかかった時間…16÷12＝4/3時間
＞＞＞帰りにかかった時間…16÷8＝2時間

平均時速　＝　１６×２　÷　（４／３　＋　２）
　＝　９．６

では、
なぜ、そういう公式になっているかを説明しましょう。

【問題】
２２ｋｍの道があります。
１ｋｍ地点まで、時速１００００ｋｍで走りました。（所要０．０００１時間）
次に、１ｋｍ地点からは時速３ｋｍで歩き、ゴールしました。（所要７時間）

Ａ
正しい平均時速　＝　２２　÷　７．０５
　≒　３．１２　ｋｍ／時
（≒　歩いていたときの時速）

Ｂ
正しくない平均時速　＝　（１００００　＋　１）　÷　２
　＝　５０００．５　ｋｍ／時

短い距離を猛スピードで走っても、残りの距離をゆっくり歩けば、
全体として、歩く距離・時間のウエイトがはるかに大きくなります。
ですから、Ａが適切で、Ｂは不適切なのです。

１０００ｋｍ先までクルマで行くとき、
１０ｋｍだけ高速道路を使っても、所要時間はほとんど変わりません。
ということは、高速道路での速さは、全体として寄与しません。
それと同じことです。

ご質問の問題も、
・行きは時速１６００００００００００００００００００００ｋｍ、
・帰りは時速１６ｋｍ
のように数字を変えてみれば、
Ａの考え方とＢの考え方のどちらが合理的かがわかりますよ。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

sanoriさん、こんにちは。僕はもう、最近すっかり勉強から離れていました。目標がなくなってしまって…。

＞平均時速　＝　全距離　÷　全距離を進むのにかかった時間
この式の知識＋この式でなければ×、という２点をおさえることが
今回の学習ポイントですかね。後者が特に大きいようです。ありが
とうございました。

回答No.3

noname#121811

＃１の極端に不足してるって事はないでしょう。
自分の考えをもって答えを出し、こっちの方法では何故ダメなのかと問う質問者に対し「勉強不足、反省せよ」はめちゃくちゃです。

見極めが付かなくなったら、またここで質問すればいいでしょう。「この解き方では何故ダメなのか？」それを繰り返して習熟するのです。極めてまっとうな勉強方法です。

お礼

ありがとうございます。

＞こっちの方法では何故ダメなのか

そうなんです。余計にこんがらがってしまうのです。理由を付け出したらどうとでも言えそうで、もう頭の中がなぞなぞを解くような感じになってしまうのです。

回答No.2

owata-www

ええと、普遍的な説明はできそうにないので今回のケースだけを説明します

＞:公式にそってたてたのになぜこの式ではダメなのか？
一言で言うと、時速12kmで走っている時間と時速8kmで走っている時間が違うからです。

＞何をヒントにこの式はダメだということに気付けばよいのか？
例えば以下の例を考えてください。

例）100kgの人9人と50kgの人が1人いる場合、平均体重は何kgか？
これは合計÷各数＝平均を使って(100*9+50*1)/(9+1)=95kgとなります。あなたはこの問題で、(100+50)/2=75と解くのと同じ過ちをおかしています。なぜダメかというと100kgの人と50kgの人の人数が違うからです。

今回の場合は、行きと帰りで走行時間（例でいう人数）が違うということに気づけば問題は解決します

わかりにくいかもしれませんが、参考になれば幸いです

お礼

＞走っている時間が違うからです。

そうなんですかぁ（@_@;）。しかし、そこで新たに感じ疑問なのですが。

１６×２　÷　（４／３　＋　２）＝　９．６
が正解のようですが、この式ですと、まるで32kmの距離を（4/3＋2）の時間で進んだかのように読み取れます。正確には、始めの16kmを4/3時間で、折り返し後の16kmを2時間で走った、でしょう？そう、たとえ距離は同じであったとしても、走っている各々の時間は別々なのです。

とすると、4/3＋2などと、＋にして１セットにするのではなく、別々に計算するほうが適切ではないかと感じました。やはり行き着くところは、「なんでＡなら○でＢだと×なの？」になってしまうのです。

回答No.1

arrysthmia

＞ むしろ勉強をすればするほど新しい可能性が見つかり

ダウト。

今回の問題に正解できなかったのは、「平均時速」という
言葉の意味を知らなかったからです。問題文中の用語を
知らないままで正解が得られる科目など、存在しません。
勉強が極端に不足しているから、こんなことになるのです。
勉強しすぎたから、新しい可能性に気づいてしまった訳では
ありません。そういう捉え方をしている限り、真面目に
必要なだけの勉強をするようには、決してならないでしょう。
反省が必要です。

平均時速 = 道のりの合計 / 所要時間の合計
　　　　≠ 区分的な速さ の算術平均

お礼

他の方の回答も読みましたが、つまり、Ａは○、Ｂは×というのを
知っていることがポイントってところですか。ありがとうございました。