閉包について

質問

閉包の記号をどう打つのかわからないので、"とさせていただきます。
たとえば、Aの閉包の場合→A"

問題
(A∪B)"=A"∪B"を示せ。

(i)
(A∪B)"⊂A"∪B"を示す。
A⊂B⇒A"⊂B"を利用すると
(A∪B)⊂Aより(A∪B)"⊂A"
(A∪B)⊂Bより(A∪B)"⊂B"
したがって
(A∪B)"⊂A"∪B"

(ii)
(A∪B)"⊃A"∪B"を示す
(A∪B)"は閉集合で、A∪Bに含まれているから
(A∪B)"⊃A"∪B"

よって(i),(ii)より題意は示せた。

という証明で合っているでしょうか？
似たような問題があり、それを真似して証明してみました。
まだしっかりと理解しているわけではないので、間違っているところがあったらご教授お願いします。

※A⊂B⇒A"⊂B"は既に証明してあるとする。

回答No.3

arrysthmia

空間に位相を定義する方法は、イロイロあります。
開集合族を指定する。開集合基を指定する。開核を定義する。
閉集合族を指定する。閉集合基を指定する。閉包を定義する。
近傍系を指定する。近傍基を指定する。
収束概念を定義する(←これは、上手くいくかどうか微妙。) etc.
どれでも同等で、どこから始めても、他のものの定義は付属してきます。

閉包を定義して始めた場合、質問の命題は閉包の公理の一部ですから、
証明は「定義より自明」で終わりです。
そういうふざけた話にならないためには、
空間の位相をどのように定義したか、明示することが必要です。
その定義の下で、閉包をどのように定義したかも書くべきでしょう。

そうでないと、問題が定義されません。

参考： http://www.amazon.co.jp/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E3%81%AE%E3%81%93%E3%81%93%E3%82%8D-%E3%81%A1%E3%81%8F%E3%81%BE%E5%AD%A6%E8%8A%B8%E6%96%87%E5%BA%AB-%E6%A3%AE-%E6%AF%85/dp/4480089578

お礼

まず問題を定義しなくてはならないのですね。
URLの方、参考にさせて頂きます。

ありがとうございました！

回答No.2

ojisan7

>(A∪B)⊂Aより・・・
>(A∪B)⊂Bより・・・

これはいったい何ですか？

閉包の定義は何ですか？位相空間Xにおいて、x∈Xの任意の近傍をV(x)としたとき、Ａの閉包を{x∈X|A∩V(x)≠φ}として考えればいいですよね。
証明は超～簡単です。

お礼

無事解くことができました。
他にもやり方があることを教えて頂けたので、近傍を習ったら、やり直してみたいと思います。

ありがとうございました！

補足

>(A∪B)⊂Aより…
>(A∪B)⊂Bより…
は間違えてます。初歩すぎるミスですみません！

閉包の定義は、Aを含む最小の閉集合をAの閉包といい、A"で表すです。

ojisan7さんがおっしゃる近傍なんですが、次の授業で習う予定なのでまだ使えないんです。

(A∪B)"=A"∪B"を示すということなので、(A∪B)"⊂A"∪B"と(A∪B)"⊃A"∪B"を示せばよいと思ったのですが、証明のやり方も違うのでしょうか？

回答No.1

koko_u_

>(A∪B)⊂Aより

イキナリ間違えているので、それ以降読むのを止めた。

お礼

無事解くことができました。
間違いを気付かせて頂き、ありがとうございました。

補足

< (A∪B)⊂Aより…
< (A∪B)⊂Bより…
は間違いです。すみません！

(A∪B)"=A"∪B"を示すために、(A∪B)"⊂A"∪B"と(A∪B)"⊃A"∪B"を示せばよいと思うのですが、これも間違いでしょうか？