10をある数字で4回割ると、1に限りなく近くなるのは・・・

質問

10を、ある同じ数字で4回割ると、1に限りなく近くなると聞きました。試しに電卓でたたくと、その数字は約1.7783となることが分るのですが、式を使って求めることはできるのでしょうか？また、この事実に何か意味があるのでしょうか？（例えばフィボナッチ数列のように）

どなたか教えていただければありがたいです。
よろしくお願いします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

こんばんは。

「限りなく近くなる」ではなく、「ぴたりと１になる」です。

わかりやすい答えが出る例としては、
「３２を２で５回割れば、（ぴたりと）１になる」
があります。

さて、本題。

求める数をａとすれば、

１　＝　１０　÷　ａ　÷　ａ　÷　ａ　÷　ａ
　＝　１０　÷　（ａ×ａ×ａ×ａ）
　＝　１０　÷　ａ^4

ａ^4　＝　１０÷１　＝　１０
（ａ^2）^2　＝　１０
ａ^2　＝　±√１０

実数は２乗したときにプラスになるので、
ａ^2　＝　√１０　＝　１０^(1/2)
よって
ａ　＝　±１０^(1/4)
　（１０の４乗根のことです。　4√１０　とも書きます。）

符合を考慮しなければ、Ｎｏ．１様のご回答も正しいです。
なぜならば、
√（√１０）　＝　（１０^(1/2)）^(1/2)　＝　１０^(1/2×1/2)
　＝　１０^(1/4)
ですので。

ちなみに、
高校で習う複素数も含めれば全部で４種類あり、
１０^(1/4)、　ｉ・１０^(1/4)、　－１０^(1/4)、　－ｉ・１０^(1/4)
が答えになります。

さらに、ちなみに、
「１０を４回割ると」を「実数ｍをｎ回割ると」に一般化すれば、
複素数では、ｎ通りの答えがあります。

どういう答えになるかというと、
ｍ^(1/n)　×｛　cos（３６０度×ｋ／ｎ）　＋　ｉ・sin（３６０度×ｋ／ｎ）　｝
　　ただし、ｋ＝０、１、２、・・・（ｎ－２）、（ｎ－１）　のｎ通り

です。
（sin と cos は、三角関数と呼ばれるものです。）

１０^(1/4)　の、電卓での計算結果
http://www.google.com/search?q=10%5E%281%2F4%29&sourceid=ie7&rls=com.microsoft:en-US&ie=utf8&oe=utf8

ちなみに、
Ｅｘｃｅｌなどの表計算で、どこかのセルに
　=10^(1/4)
と書けば、上記と同じ値が出ます。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

なるほど、ぴたりと1になるのですね！

それにしても、数の不思議さ、神秘を感じずにはいられません。
このような例が、きっと他にもいろいろとあるのでしょうね。
過去に、フィボナッチ数列に出会ったときの感覚を思い出します。

分りやすくご丁寧な解説をいただき、
本当にありがとうございます。

（数学ができる人が、とてもうらやましいです。）

回答No.3

chie65536（@chie65535）

＞10を、ある同じ数字で4回割ると、1に限りなく近くなると聞きました。

これは「ある数を４乗すると１０になります」と言っているのと同じです。

逆に言うと「１０を１／４乗（０．２５乗）するとある数になります」と言っているのと同じです。

＞この事実に何か意味があるのでしょうか？

事実を事実として述べているので、何の意味もありません。「イチゴは赤いです」「１足す１は２です」と同じくらいの意味しかありません。

お礼

そのようですね。

回答ありがとうございました。

回答No.1

eroermine

√√10

((((10/x)/x)/x)/x) = 1
10/x^4 = 1
x^4 = 10
((x^2)^2) = 10
x^2 = √10
x = √√10

お礼

早速のご回答ありがとうございます!

数学には全くの素人なのですが、
あらためて数の不思議さに興味が湧いてきます。
ぜひ、周辺の情報も調べてみたいと思います。

深謝。