解の存在

質問

ちょっと困っていることがあります。
次の問題は、数学的に解ける問題なのでしょうか？
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a+b+c+d=100 のとき、
50a+10b-20c-40d
の最高値と最低値を求めなさい。
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回答No.4

mmky

参考程度まで

a,b,c,dは自然数
a+b+c+d=100 のとき、 （註：(a+2b+3c+4d)/4=2 はa+b+c+d=100/4>25と矛盾しているので省略）
50a+10b-20c-40d =A
Aの最大数と最小数 ということですか。

単純に考えれば、a+b=98 で50a+10b が最大になる時ですから、
a=97,b=1 と予想すれば、50a+10b=4850+10=4860
このとき、c+d=2, c=1, d=1 故　-20c-40d=-20-40=-60
だから最大数Amax=4860-60=4800 と想定できますね。

最少数は、50a+10b-20c-40d =Amin　＞0
ですから係数の大きいa,d に着目すれば、
50a+10b≧20c+40d　から　5a+b≧2c+4d=2c+400-4(a+b+c)=400-4a-4b-2c
9a+5b+2c=400, b=c=1　として、
a=393/9→43 前後の数、5a+ｂ=215 と考えると、
2c+4d=214 → 4d=212/4=53 前後の数
そこで3点ほど組み合わせを見てみると、a=43,44,45 d=55,54,53
a=44,b=c=1,b=54 の時、5a+b≧2c+4d 差が2になるのが最小
220＞218 →　2200-2180=20→Amin
ということで、最大数4800、最少数20　程度になりますね。

考え方の程度ということで。

お礼

ありがとうございました。
問題が間違っておりました・・。
せっかちなもので、すまません。質問し直しましたので、よろしければまたお答え頂けますでしょうか。

回答No.3

noname#3856

補足で「(a+2b+3c+4d)/4=2」と書かれていますが、
変形すると「a+2b+3c+4d=8」となります。
a,b,c,dが「自然数」（正の整数）とすると「解なし」となってしまいますが、間違いないですか？

お礼

ありがとうございました。
問題が間違っておりました・・。
せっかちなもので、すまません。質問し直しましたので、よろしければまたお答え頂けますでしょうか。

回答No.2

noname#24477

基本的には等式が一つあれば文字が一つ減らせます。

50a+10b-20c-40d＝50a+10b-20c-40(100-a-b-c)
＝９０ａ＋５０ｂ＋２０Ｃ－４０００

これはａ，ｂ，ｃに条件が無い限り最大値も最小値も決まりません。
正とか、いくつまでとか条件があれば決まることもあります。

注）数学の問題で、最高値、最低値とは普通言いません。

お礼

ありがとうございました。
問題が間違っておりました・・。
せっかちなもので、すまません。質問し直しましたので、よろしければまたお答え頂けますでしょうか。

回答No.1

masa1214

a,b,c,d の条件を教えて下さい。例えば整数とか、複素数とか・・。

補足

あ、すみません・・。
a,b,c,d は「自然数」です。
あと、もう一つ条件がありました！
(a+2b+3c+4d)/4=2
です。重要なことを書き忘れてしまって申し訳ありません・・。