行列式が負のときと正のときの違い

質問

大学1年の者です。
代数学で、行列式について習いました。
2次正方行列 （a,b,c,d）
について、原点→（a,c）→（b,d）の順で矢印を引いていくと、行列式が負のときは右回り、正のときは左回りになります。
具体例（（a,c）=(3,2),(b,d)=(2,-1)のとき、行列式は負。よって右回り。）からこのようになることはわかるのですが、このようになることを説明すれと言われるとなると、まったくわかりません。
ちょっとしたことでも結構ですので、回答お願いします。

回答No.4

gef00675 · ベストアンサー

＞なぜ、－π/２回転するのでしょうか？

sin(π/２－θ)=cos(θ）の公式が直接みえるほうがわかりやすいかな、と思って、－π/２にしただけです。要は、ベクトルと直角であるようにすればよいので、π/２でも－π/２でもどっちでもよいのです。

お礼

またまた回答ありがとうございました。

回答No.3

koko_u_

>gef00675さんの回答からすると、「右回り」が左手系で、「左回り」が右手系でしょうか？
「左手系」「右手系」とは何ですか？と聞かれるだけです。
自分で考えましょう。

補足

ずいぶんと日が経ってしまいましたが、わかりません。教科書等も見てみたのですが・・。

回答No.2

gef00675

平面の場合の行列式
｜ａ　ｂ｜
｜ｃ　ｄ｜
の絶対値は、二つのベクトルの作る平行四辺形の面積を表しているということを習ったと思います。いま、(a,c)＝ｘ、(b,d)＝ｙと表し、ｘとｙのなす角をθとします。ただし、θはｘからｙに向かって測り、反時計方向を正としておきます。平行四辺形の面積は
S=|ｘ||ｙ|sinθ
です。ここで、（b,d)を－π/2回転したベクトルy’=(d,-b)を考えると、Sはxとy'の内積で表せます。
S=|ｘ||ｙ'|cos(90-θ)=ad-bc
と表せます。実際に図を書いて確かめてください。
　このとき、ad-bcの符号は、０＜θ＜πのとき正、π＜θ＜２πのとき負になっています。つまり、ベクトル（a,c)を反時計回りに回転して、ベクトル(b,d）に重ねるとき、回転角θがπより小さければ、行列式の値は正、πより大きければ負といえます。
　しかしながら、この符号は上記のような角度のとり方をしたからそうなったのであって、二つのベクトルを入れ替えると符号は逆になってしまいますね。
　行列式の符号の決め方は、単なる約束事であって、特別の理由があってそうなったわけではありません。プラスマイナスを逆にしても理論的な不都合はありません。ただ、符号の決め方を統一しておかなければ世の中が混乱するのでそう決められているだけです。
　同様に３×３の行列式の符号は、３つのベクトルがこの順に右手系をなすときプラス、左手系をなすときマイナスになるように決められています。
　さらに、ｎ×ｎの行列式では、もはや人間の直観がおよばないので、逆に、行列式の符号が正になるような順序にならんでいるベクトルを右手系とよんだりします。
　以上のような説明で、ご質問の回答になったでしょうか。

補足

回答ありがとうございます。
＞ここで、（b,d)を－π/2回転したベクトルy’=(d,-b)を考えると、Sはxとy'の内積で表せます。
S=|ｘ||ｙ'|cos(90-θ)=ad-bc
と表せます。

・・なぜ、－π/２回転するのでしょうか？

回答No.1

koko_u_

>ちょっとしたことでも結構ですので、回答お願いします。
「右回り」と「左回り」を数学的に表現して補足にどうぞ。

補足

回答ありがとうございます。
gef00675さんの回答からすると、「右回り」が左手系で、「左回り」が右手系でしょうか？