回転、座標、空間

質問

「三角形の各頂点の座標が（xii, yii, zii）,(xij, yij, zij), (xik, yik, zik)から（xji, yji, zji）,(xjj, yjj, zjj), (xjk, yjk, zjk)に移動するとする。三角形の形が変化しない時、この動きはある回転軸ax+by+cz+d=0を使うと、軸の周りの回転角θと軸上の並進距離Lを用いて表せる。a,b,c,dおよびθ,Lを三角形の各点の座標（3*2=6つ）を用いて示せ。」という問題があります。
あらゆる動きが回転軸を用いれば表現できそう、というところまではなんとなく理解できるのですが、具体的にどのように解けばよいのか分かりません。数学の知識があまりなく途方にくれています。どなたかご教授お願いいたします。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>（xii, yii, zii）,(xij, yij, zij), (xik, yik, zik)から（xji, yji, zji）,(xjj, yjj, zjj), (xjk, yjk, zjk)に…

これは紛らわしいので

A（xpi, ypi, zpi）,B(xpj, ypj, zpj),C (xpk, ypk, zpk)からA'（xqi, yqi, zqi）,B'(xqj, yqj, zjj),C' (xqk, yqk, zqk)に…

などとした方が良いかと思います。

以下の方法でやればいいでしょう。

△ABC≡△A'B'C'で頂点の対応がAとA'、BとB'、CとC'がそれぞれ対応しているとします。
△ABCの法線ベクトルを(Ep→) (方向は(AB→)×(AC→)の方向)
△A'B'C'の法線ベクトルを(Eq→) (方向は(A'B'→)×(A'C'→)の方向)
とすると
(2)三角形上の特定の点（頂点、外心、重心など）を平行移動であわせる。
例えば頂点Aを頂点A'にあわせる為
A,A'を通る直線に沿ってAを(AA'→)=（xqi-xpi,yqi- ypi,zqi- zpi）
平行移動する。平行移動後はAはA'に一致する。
(2)平行移動後の△ABCを△A"B"C"とする。
次に、点A'を中心に△A"B"C"を回転させて、△A'B'C'に重ねる回転移動をする。回転角は、法線ベクトル(Ep→)が法線ベクトル(Eq→)に重なるように回転角を定めればよい。
例えば、(Ep→)＝(epx,epy,epz),(Eq→)＝(eqx,eqy,eqz)とすると
(Eq→)＝(Ep→)M
となる回転行列 M　を決めればよい。

以上の手順、つまり
(1)△ABCの各頂点A,B,Cを平行移動ベクトル(AA'→)で平行移動する。
△ABCは△A"B"C"に移る。
(2)点A'を中心に、△A"B"C"の各頂点A",B",C"を回転行列Mで回転移動する。
△A"B"C"は△A'B'C'に重なる。

質問の課題は、Mを求めれば解決するでしょう。
Mは、例えば
x軸の回りの回転行列Mx
と
y軸の回りの回転行列My
の積で表せるでしょう
。M=MxMy
(この方法は「３次元　アフィン変換」で検索すれば
沢山載っています)

お礼

丁寧な説明ありがとうございました。がんばってみます。