3次方程式の3つの解の差積

質問

教科書に3次方程式の3つの解の差積の2乗が判別式になるということの証明が書いているのですが、その証明がよくわかりません。

「x1,x2,x3を3次方程式t^3+at^2+bt+c=0の3つの解とし、
差積をΔ＝(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)定義する。
x1が実根でx3をx2と共役な複素数とすると、
Δ＝(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)＝-|x1-x2|^2(2iImx2)
ただし、Imx2はx2の虚部を表す。」

この説明の後にΔを2乗して判別式として正しいことを示すのですが、なぜ(x1-x2)(x2-x3)(x3-x1)＝-|x1-x2|^2(2iImx2)が成り立つのかがわかりません。
計算すると、2di{-(x1-x2)^2-2di(x1-x2)}になり、どうしても教科書の式に結び付かない気がするのですが・・・。

分かる人がいれば教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

R_Earl · ベストアンサー

α = a + bi、αの共役な複素数をβ = a - biと置くと、
|α|^2 = αβ
が成り立ちます（|β|^2 = αβも成り立ちます）。

(x1 - x2)(x2 - x3)(x3 - x1)において、x2 = c + di、x3 = c - diと置くと

(x2 - x3)
= 2di
= 2iImx2 …… (1)

(x1 - x2)(x3 - x1)
= -(x1 - x2)(x1 - x3)
= -{x1 - (c + di)}{x1 - (c - di)}
= -{(x1 - c) - di}{(x1 - c) + di}

式の形を見れば、{(x1 - c) - di}と{(x1 - c) + di}は共役な複素数です。
つまり(x1 - x2)と(x1 - x3)はお互いに共役な複素数だということが分かります。
よって最初に書いた|α|^2 = αβという性質を利用すると

-{(x1 - c) - di}{(x1 - c) + di}
= -(x1 - x2)(x1 - x3)　（(x1 - x2)がα、(x1 - x3)がβに相当します）
= -|x1 - x2|^2 …… (2)

となります。
(1)(2)より、

(x1 - x2)(x2 - x3)(x3 - x1) = -( |x1 - x2|^2 )( 2iImx2 )

となります。

お礼

わかりやすい説明をありがとうございました。おかげで証明が理解できました。