数学の問題です

質問

軸と直交する円があります。　軸の両端の座標と円の座標が１つわかってます。　円を表す方程式を教えてください。

軸端　A　( 99.42 128.98 521.03 )
軸端　B ( 95.63 145.69 549.73 )

円　　　 ( 111.53 78.87 590.76 )

以上がわかっています。

宜しくお願いします

回答No.8

info22

#1,#3～#7です。
複雑な座標系における点が描く曲線の表現法の補足をしておきます。
例えば、問題の円の上を、質点Mが円軌道を描いて回転している場合の軌道上の質点Mの運動を扱う場合、全体を1つの座標系で扱うと質点の座標値が非常に複雑になるので、3つの座標系に分割して、それらを加え合わせて質点Mの運動を扱います。天体の運動や複雑な運動系で使われる解析法です。
今回の質問の問題で与えられた座標を宇宙座標系をと呼ぶことにします。
宇宙座標系で球面(A)の中心C(xc,yc,zc)を指定します。
次に、球面(A)の中心Cを原点Cとする世界座標系を定義します。世界座標系のX,Y,Z軸の方向は、宇宙座標系と同じ方向にとります。
世界座標系に対してCを通り、軸ABの方向(-3.79,16.71,28.70)をZ軸とするXYZ直交座標系を地球座標系と定義します。そうすると地球座標系では
tXYZ直交座標表現:z=0,x^2+y^2=r^2(r=80.01)
または
極座標表現：r=80.01,φ=0～2π[rad],θ=π/2[rad]
で円を表現できる。3つの座標系の座標を重ね合わせると宇宙座標系に対する円周上の質点の運動（円）を表現できることになります。
３つの各座標系には、都合の良い座標系（XYZ直交座標系、極座標系、円柱座標系など）を使うことになります。

お礼

ご無沙汰しております。
教えていただいたところまでは、理解出来たと思います。

軸ABに対して、円の点が１度回転したとします。
その時に、円の点を求めるのはどうすれば宜しいのですか？

回答No.7

info22

#1,#3～#6です。
A#6の補足質問の回答をします。
>Xに値を代入した場合、Y, Zが２つ求められる気がします。
>(A),(B)の２つの連立方程式を解けばいいのでしょうか？
（A),(B)を連立方程式を解くという考え方をせず、
（A)を宇宙に浮かぶ地球の表面を表す球面に対応させ、(B)を赤道面を通る平面に対応させて考えてください。そうすれば（A),(B)の交線は赤道の円環に対応します。赤道面の円環の中心を貫く自転軸が軸ABに対応してきます。
あくまで、(A)を球面、(B)を平面として3次元の立体で考え、円を空間的に捕らえて下さい。X,Y,Z座標は単なる曲面を表す為の表現法に過ぎません。直交座標系として固執すると、x（x=kは3次元空間では平面を表す方程式になります。）に対してyが2つ存在する（これば2次元での考え方です）と考えてしまう事になったりする。球面と平面の交線としての円を考えれば、(A),(B)を同時に満たす(x,y,z）の組の軌跡が（A)と(B)の交線の円と考えれば良い訳です。
（方程式が(A),(B)の２つですから解いても解は交線の軌跡＝円の方程式しかでてきません。）その交線を最も単純に表すのは(A)と(B)の方程式なのです。
3次元の直線の方程式（ABの方程式）の表現が
(x-99.42)/(-3.79)=(y-128.98)/16.71
(x-99.42)/(-3.79)=(z-521.03)/28.70
といった2つの平面の交線として表現されるということです。
ここでxを与えて方程式を解いてy,zを求めるという考え方はやめて、
2つの式で3次元空間の直線を定義しているとそのまま受け入れる考えが大切です。3次元空間上の曲線上の点が必要になったときだけ、その点を求めればいいと考えます。
■3次元空間の円上の点Qを考えるには、円の中心C(xc,yc,zc)と軸の方向ベクベクトルABと円の半径rと円周上の角度φ=0の位置を与えれば決まります。必要があれば、それをXYZ座標に変換すれば良いだけです。
■3次元空間の円は、3次元で座標空間の球面と平面の交線として捉え、3次元プロットして空間的に視覚的に理解する事が大切です。
■3次元空間にプロットする参考URLのフリーソフトGRAPESのHPにある「3D-GRAPES」をインストールしそれを使って、今回の球面(A)と平面(B)を描いて見てください。同時に円の中心C(xc,yc,zc)と軸ABと円周上の点P(xp,yp,zp)も描いて見てください。
3D-GRAPESは任意の方向に座標軸を回転させたり、拡大縮小、プロットのオフセットや軸の縮尺を変化できますので、3次元的に円を把握するのに役立つかと思います。
■【プロットする時の設定等】
視点を(95,145,400)に設定（編集-オプション-視点の所で設定）
プロット画面の上側の設定：
左から２つの□は自動的に変化するので入力せず、3番目の□=999.0、
4番目の□=48.3、5番目の□（一番左の□）=600
◆球面(A)の曲面の方程式（極座標に直して）
Q：(95.63+80*cos(s)*sin(t),145.70+80*sin(s)*sin(t),549.75+80*cos(t))
-Pi≦s≦Pi(増減幅0.1),0≦t≦Pi(増減幅0.1),プロット色：水色
平面(B)の方程式直交座標
R:(s,t,549.75+((s-95.627)キ3.79-(t-145.70)キ16.16)/28.70)
0≦s≦300(増減幅10)、0≦t≦400(増減幅10)、プロット色：赤色
◆曲線として軸AB：
B:(95.63+t*(99.42-95.63),145.69+t*(128.98-145.69) ,549.73+t*(521.03-549.73))
0≦t≦1(増減幅0.1),プロット色：青色,点：青色表示
◆半径PC：
C：(111.53+s*(95.627-111.53),78.87+s*(145.70-78.87),590.76+s*(549.74895-590.76))
0≦s≦1(増減幅0.1),プロット色：青色,点：青色表示
点P:
P:(111.53,78.87,590.76)
プロット色：青色表示
点A:
A:(99.42,128.98,521.03)
プロット色：青色表示

参考URL：

http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

お礼

度々のご指導心より感謝いたします。

早速３D-Grapesを用いて理解するよう頑張ってます。が、まだ上手く入力が出来ないのが現実です。

実務として、Xが変化した時のY,Zの値を求めるのが必要なのですが、ようやく考え方を理解出来てきたレベルですので、まだ初歩的な質問をさせて頂く事と思います。

回答No.6

info22

#1,#3,#4,#5です。
A#5の補足質問の回答
>３次元の場合はどうやって円の軌跡を表すのでしょうか？
3次元では
直線は２つの定義があります。
(1)２つ平面の交線で定義
(2)１つの位置ベクトルと可変長ベクトルの和で定義

曲線の定義では
(1)２つの曲面の交線で定義
(2)複数ベクトルによる定義
が考えられる。

特に円の場合の定義は
(1)球面と球の中心を通る平面の交線で定義
(2)楕円柱（円柱を含む）面と平面の交線で定義
(3)球面と球面の交線で定義
(4)複数ベクトルによる定義
(5)座標系の回転と平面座標上の円で定義
などが考えられます。
その場合、XYZ座標系、極座標系、円柱座標系のどれを使うかは
表現式が簡単な座標系や表現しやすい座標系を使えばいいでしょう。

質問の問題では円の中心と半径やABの方向ベクトルがA#4で求めてありますので
球面の方程式(A)と球の中心を通る平面の方程式(B)で
3次元座標空間での円の方程式を定義すればいいでしょう。
以下のようになります。
(A)球の方程式
(x-95.627497)^2+(y-145.70103)^2+(z-549.74895)^2=80.0074^2
(B)球の中心を通る軸ABに垂直な平面の方程式
(x-95.627497)*(-3.79)+(y-145.70103)*16.16+(z-549.74895)*28.70=0
（この(B)の式は括弧をはずして整理した方がいいでしょう。）

他の座標系に直すなら、XYZ座標系と他の座標系との変数変換すればいいでしょう。

お礼

毎回　本当に解り易い御説明を頂いて大変感謝しております。

私だけでは、いつまでたってもわからなかったと思います。
そして、教えていただいたところまでは、理解できているつもりです。

ですが、再度教えてください。

Xに値を代入した場合、Y, Zが２つ求められる気がします。

（A),(B)の２つの連立方程式を解けばいいのでしょうか？

申し訳ございませんが教えてください。

また、その計算時には解の公式を用いればよろしいのでしょうか？

回答No.5

info22

#1,#3,#4です。
> コマが傾いて回っているときの外周の軌跡を計算したいのです。
分かりました。円の中心C(xc,yc,zc)を軸ABがコマのように貫いているケースですね。

A#4でABの直線の方程式
(x,y,z)=(99.42,128.98,521.03)+t(-3.79,16.71,28.70)
を書きました。
この直線ABに円周上の点P(xp,yp,zp)=(111.53,78.87,590.76)から
下した垂線の足C(xc,yc,zc)をPC⊥ACの連立方程式
a*(95.63-99.42)+b*(145.69-128.98)+c*(549.73-521.03)=0,
99.42-3.79t=111.53+s*a,
128.98+16.71t=78.87+s*b,
521.03+28.70t=590.76+s*c
を解いてtを求め
(xc,yc,zc)=(99.42,128.98,521.03)+t(-3.79,16.71,28.70)
に代入して
円の中心C(xc,yc,zc)=(95.627497,145.70103,549.74895)
円の半径r=√{(xc-xp)^2+(yc-yp)^2+(zc-zp)^2}=80.0074
が得られます。

お礼

解かり易い御説明ありがとうございます。
紙に書いて理解できました。

ですが、結局円の軌跡まで、たどりつけませんでした。
３次元の場合はどうやって円の軌跡を表すのでしょうか？

三角関数で求めようとしているのは遠回りすぎるのでしょうか？

本当に恐縮ですが、教えてください。

回答No.4

info22

#1,#3です。
円と軸の関係は
「φ」の文字のように円の中心を軸の直線が貫い抜いており、円の点が円周上にあると言うことですか？
円の点Pと点A,点Bは同一平面上にあることになりますが、よろしいですか？

それともコマの枠の枠の円（この上に円の点がある）と真ん中を貫く回転軸のの芯の棒が軸となる関係ですか？
この場合は、円の平面と軸ABは直交することになるかと思います。

線分ABの方向ベクトルはつぎのようになる。
(95.63-99.42,145.69-128.98,549.73-521.03)=(-3.79,16.71,28.70)
直線ABの式は媒介変数表現を使えば以下の通り。
(x,y,z)=(99.42,128.98,521.03)+t(-3.79,16.71,28.70)
媒介変数を使わない直線ABの式は以下の通り。
(x-99.42)/(-3.79)=(y-128.98)/16.71=(z-521.03)/28.70

点Aから円周上の点P(111.53,78.87,590.76)に向かう方向ベクトルは以下の通り。
(111.53-99.42,78.87-128.98,590.76-521.03)=(12.11,-50.11,69.73)
円周上の点P(111.53,78.87,590.76)と点A,Bとでできる△ABPの平面の方程式は次の通り。
(x,y,z)=(99.42,128.98,521.03)+t(-3.79,16.71,28.70)
+s(12.11,-50.11,69.73)

という事です。
この平面が決まれば、この平面上に、直交する座標軸を撮れば、円の中心の座標と円の半径が決まれば円が決定できることになります

問題では、決定できるだけのデータが不足しているため、円が決定できません。
円が決定する為には
円周上の3点が確定する。
または、
円の中心座標と半径が確定する。
のデータを決定できるだけのデータを与えないと円が確定できません。

確定できるだけのデータを与えて下さい。

補足

たびたびのご指摘大変感謝いたします。

私の案件は　info22様の言われるコマとなります。
例えば、コマが傾いて回っているときの外周の軌跡を計算したいのです。

点Pと軸が直行となるところを、軸上でまず求めて、それで求められた半径を使用すれば、求められるとは思うんですが、その方法がわからないんです。

たびたびですが、宜しくお願いいたします。

回答No.3

info22

#1です。
>直線ABが円の中心を通ります。
分かりました。

>円　　　 ( 111.53 78.87 590.76 )
この点は円の中心座標ですか？
それとも円周上の一点でかつ直線AB上にない一点ですか？

軸端A,Bというのは

線分ABが直径にあたるのでしょうか？
それとも
線分ABは円の直径と無関係ですか？

補足

説明不足で申し訳ございません。

円周上の１点です。　中心点は線分AB上に存在します。
点ABを軸として回転運動している点の座標となります。

宜しくお願いします。

回答No.2

Tacosan

ついでにいうと「円の座標」の意味もわからん.

回答No.1

info22

>軸と直交する円があります。
この意味が明確ではありませんので補足して下さい。
(1)直線ABが円の中心を通る
(2)直線ABと「円を含む平面」とが直交する
どちらのケースですか？

補足

ご指摘ありがとうございます。

直線ABが円の中心を通ります。