ＦＦＴ（高速フーリエ変換）について

質問

直流成分０の正弦波と矩形波形をＦＦＴするとＦＦＴグラフには
正弦波・・・・一本の線のピーク
矩形波形・・・・複数の線のピーク
となっているのですが、
ＦＦＴグラフの横軸と縦軸はなんでしょうか？

ＦＦＴ結果を複素数の絶対値を計算しグラフ化するのですが
何故、ＦＦＴ結果が複素数なのですか？
定義式（ｇ(ｔ)＝直流成分＋Ｃｏｓ成分＋Ｓｉｎ成分）をみる限り
複素数にならないと思います。
それか見ている式が違うのでしょうか？

あと定義式（ある時間信号ｇ(ｔ)が、ある周期Ｔを持つ連続関数である時）
であるのですが、”ある時間信号ｇ(ｔ)”っていうのはよくわかりません。
このgを求めることが
正弦波・・・・一本線のピーク
矩形波形・・・・複数の線のピーク
になる理由がわかるのですか？

ご指導の程、よろしくお願い致します。

回答No.4

tocoche

サイン波の振幅と位相を、複素座標で表すことは知ってますよね？　Ｓｉｎ成分自体が虚数になります。　ｊＢｎＳｉｎ（ωｎｔ）

回答No.3

uyama33

ＦＦＴ（高速フーリエ変換)

の定義式は、少し違います。
　フーリエ級数に展開する時の式とは
別ですので、デジタル信号処理の本を
読んでください。

　何でも良いのですが、たとえば
基礎からのデジタル信号処理　　（東京電機大学出版局）　の
５９ページ
を見てください。

　計算結果として、サインとコサイン両方を得るために、
まとめて複素数にしたと思って差し支えないでしょう。

回答No.2

uyama33

何故、ＦＦＴ結果が複素数なのですか？
定義式（ｇ(ｔ)＝直流成分＋Ｃｏｓ成分＋Ｓｉｎ成分）をみる限り
複素数にならないと思います。
それか見ている式が違うのでしょうか？

　そのとおり、見ている式が違うのです。
FFT での変換式を確認して下さい
その式の中に

e^(-i2πnk/N)

があるはずです。
このなかの　i　か虚数なのです。
これがあるから、複素数になるのです。

補足

Gn=1/T∫(T,0)g(t)*e^(-j2πnt/T)dt-----(1)
の式ですよね？

この（１）式で何がわかるのかよくわかりません。

定義式（ｇ(ｔ)＝直流成分＋Ｃｏｓ成分＋Ｓｉｎ成分）ーーー（２）
An=2/T∫(T,0)g(t)*cos2πnt/Tdt-----(3)
Bn=2/T∫(T,0)g(t)*sin2πnt/Tdt------(4)

(3),(4)で求められる振幅の式とどのように違うのですか？

ただ、複素数展開しただけなのでしょうか？

ご指導の程、宜しくお願い致します。

回答No.1

teo98

フーリエ変換の教科書に出てくることなんで、手短に。
横軸は、周波数ｆ＝ω／２πで、
縦軸は、周波数ｆの成分の振幅です。

時間軸のままで正弦波をフーリエ展開するとすれば、たった一項のｓｉｎ関数にしかなりません。したがって、１本のスペクトラムを表示します。

高調波成分を持つ矩形波の場合、フーリエ展開すると、複数のｓｉｎ関数の項になります。すなわち、複数のスペクトラムが見えることになります。

フーリエ変換後の周波数軸での表示では、時間軸の遅れ時間、例えば、ｓｉｎ（ωｔ＋Θ）におけるΘは表示されません。すなわち、位相の遅れ情報を含みません。それゆえ、「絶対値計算」との説明となったのではないでしょうか？

周期Ｔとは、１/fのことです。周期Ｔであれば、周波数ｆのところに一つのピークを表示する筈です。その波形が高調波成分を含む信号であれば、複数のピークを表示します。

参考URL：

http://mars.elcom.nitech.ac.jp/java-cai/signal/mokuzi.html

補足

横軸は、周波数ｆ
縦軸は、周波数ｆの成分の振幅なのですね。
正弦波（ＦＦＴ前）のグラフの縦軸が振幅だと思っていて勘違いしてました。

＞高調波成分を持つ矩形波の場合、フーリエ展開すると、複数のｓｉｎ関数の項になります。すなわち、複数のスペクトラムが見えることになります。

とありますが、高調波成分の時は何故、複数のスペクトラムが表れるのはですか？
正弦波と同じ振幅で同じ周期（違うのかもしれません。）でただ正弦波が矩形波
になっただけなのに複数のスペクトラムが表れるのかわかりません。
正弦波と矩形波はＸ軸と振幅の頂点（0<x<T/2の真中）交わっています。
（矩形波・・・・0<x<T/2 xの間の振幅１　　T/2<y<T yの間の振幅-1）
同じなのに複数のスペクトラムが表れるのは何故ですか？

式を解けばその理由はわかると思いましたが、どのように展開すればいいのか
わかりませんでした。

ご指導の程、宜しくお願い致します。