グラフ理論（幾何学）

質問

グラフ理論で分からない問題が・・・。

Ｇは多面体（多面体グラフ）として、そのすべての面の境界は五角形または六角形であるとする。この時、

（１）オイラーの公式を用いて、Ｇには１２個以上の五角形の面がなければならないことを示せ。

（２）さらに、各頂点ではちょうど３つの面が会うとすると、Ｇにはちょうど１２個の五角形の面があることを示せ。

ちなみにオイラーの公式とは点の数ｎ、辺数ｍ、面の数ｆとするとき、ｎ－ｍ＋ｆ＝２となる。

なんですが、教えてください、お願いしますm(__)m

回答No.1

nakaizu · ベストアンサー

五角形をx個、六角形をy個とすると面の数はx+y、辺の数は(5x+6y)/2となります。するとオイラーの公式より点の個数nはn=3/2x+2y+2となります。
一方、多面体の各頂点では3つ以上の面が会いますので頂点の個数は(多角形の頂点の数5x+6yは三重以上重複しているので)(5x+6y)/3以下になります。
よって 3/2x+2y+2<=(5x+6y)/3 を解けば12<=xとなります。
また各頂点で会う面が丁度3個の時には等号がなりたつので丁度12個になります。

ところでmakoto05さんはどういう事情で質問されるのでしょうか。
学生さんが自分で考えもせずに課題の回答を聞いているのであれば正直答えたくないですし、それなりの理由があれば他の質問にも回答しようという気になります。

お礼

ご丁寧にどうもありがとうございましたm(__)m

自分は学生でこの冬に何十という数のレポを出されました。その中で、参考文献を調べ、自分で考えても問題の意味や答え方が分からない問題を質問させてもらっています。提出期限が重なったので大量に質問してしまい、誤解を招くようなことをしてしまって申し訳ありませんでしたm(__)m