確率、グラフ理論(?)の質問です。

質問

以下の問題に途中まででもよいのでご回答よろしくお願いします。
少し間違っててもよいのでアドバイスをお願いします。

解答してみましたが、
I．１．平均：0 分散：2/3*n
２．e(k) = 10/3*e(k - 1) + 10/3*e(k + 1)
３．(不明)
II．１．(解答できました)
２．(不明)
３．(不明)
という状況です。
整合の方お願いします。

I．１つの粒子が数直線に沿って運動している。粒子は原点０から出発し、毎ステップごとに、等確率1/3でランダムに、-1または０または+1だけ移動する。以下の問いに答えよ。
１．ｎステップ後の粒子の位置の平均および分散を求めよ。ｎは正の整数とする。
２．Ｌを正の整数とする。粒子は数直線上の-Lまたは+Lに到着すると運動を終了する。粒子がｋに位置するとき、運動を終了するまでに要するステップ数の期待値をe(k)と表す。ただし、ｋは、-L<k<Lを満たす整数であるとする。e(k),e(k-1),e(k+1)の間に成り立つ差分方程式を示せ。
３．前問で求めた差分方程式の解はｋについての２次式で表される。e(k)を求めよ。ただし、終端条件をe(-L) = e(L) = 0とする。

II．すべての異なる頂点が辺で繋がっているグラフを完全グラフと呼び、頂点数がｎの完全グラフをKnで表す。図６．２と図６．３はそれぞれK5とK6の例である。完全グラフの辺を２通りにラベル付けをする。図６．１に完全グラフK4のラベル付け例を示す。以下では２通りのラベルの辺をそれぞれ実線と点線で表す。このとき次の問いに答えよ。
1. 図 6.1 のラベル付けには，同じラベルの３辺をもつ K3 が含まれない。同様にして，図 6.2 の完全グラフ K5 の辺を２通りにラベル付けして，同じラベルの３辺をもつ K3 が含まれないようにせよ。
2. 「6 人集まれば，互いに知り合いである 3 人組か，互いに見知らぬ 3 人組が必ず存在する」という命題がある。この命題を図6.3 に示した完全グラフ K6 の辺のラベル付けを利用して証明せよ。ただし，一方的に知っているという関係は考えない。
3. 完全グラフ K8 の辺を２通りにラベル付けする。このとき次の２種類の完全グラフを両方とも含まないようなラベル付けの例を示せ。
- 全ての辺が実線である完全グラフ K3
- 全ての辺が点線である完全グラフ K4

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

でその「(1/3)^(n/3)」ってのは何をどう考えてでてきたものなの?

まさか「nステップ後の位置が -1 である確率は (1/3)^(n/3)」とか言わないよね?

お礼

遅くなりましたが、この問題については解決しましたのでご報告いたします。
ご回答ありがとうございました。

回答No.2

Tacosan

「nステップ後の位置」をＸとするなら, 平均は E(x) じゃなくて E(Ｘ) だね.

さておき, その平均や分散の計算
E(x) = (1/3)^(n/3)*(-1) + (1/3)^(n/3)*0 + (1/3)^(n/3)*1 = 0
V(X) = (1/3)^(n/3)*(-1)^2 + (1/3)^(n/3)*0^2 + (1/3)^(n/3)*1^2 = 2(1/3)^(n/3)
に出てくる「(1/3)^(n/3)」ってなに?

補足

1/3のn/3乗という意味です。

回答No.1

Tacosan

I については「どう考えてそうなったのか」がないと「0点」とされても文句いえないだろうねぇ. ということで, それらの式の由来も書いてください.

II の 3 は「頑張って考えろ」としか言えない. 2 は 1点から出る辺に対するラベル付けに着目して, 一方が存在しないと他方が自動的に存在してしまうことを言う.

補足

少し訂正しますが、
I．１．
平均：nステップ後の位置をＸとして、
E(x) = (1/3)^(n/3)*(-1) + (1/3)^(n/3)*0 + (1/3)^(n/3)*1 = 0
分散：
V(X) = (1/3)^(n/3)*(-1)^2 + (1/3)^(n/3)*0^2 + (1/3)^(n/3)*1^2
= 2(1/3)^(n/3)
と考えました。